...+r(n∈N+,n>=1)试求数列{an}是等差数列的充要条件
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发布时间：2024-10-24 00:15
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时间：2024-11-06 13:26
s(n) = pn^2 + qn + r,
a(1) = s(1) = p+q+r.
s(n+1) = p(n+1)^2 + q(n+1) + r,
a(n+1) = s(n+1) - s(n) = p(2n+1) + q = 2np + p + q.
a(1)=p+q+r,
n>=2时，a(n) = 2p(n-1) + p+q.
{a(n)}是等差数列充要条件是，
n=1时，也应有,a(n) = 2p(n-1) + p + q.
也即，p+q =a(1) = p+q+r, r = 0.
验证：
当r = 0, s(n)=pn^2 + qn^2 + r时，a(n) = 2p(n-1) + p + q,
{a(n)}是首项为a(1)=p+q,公差为2p的等差数列。
a(n) = 2p(n-1) + p +q时，
s(n) = pn(n-1) + (p+q)n = pn^2 + qn.
综合，{a(n)} 前n项和s(n) = pn^2 + qn + r时，r=0是{a(n)}为等差数列的充要条件。。
