怎样用初等数学证明数列{1,1}收敛?

发布网友发布时间：2024-10-23 21:01

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热心网友时间：2024-11-03 14:01

解答过程如下：

^^e^tan-e^x=e^x(e^(tanx-x)-1)，x→0时，e^x→1，e^(tanx-x)-1等价于tanx-x。

所以e^tan-e^x等价于tanx-x。

所以，x→0时，tanx-x等价于x^n，所以

1=lim(x→0) (tanx-x)/x^n

=lim(x→0) ((secx)^2-1)/nx^(n-1)

=lim(x→0) (tanx)^2/nx^(n-1)

=lim(x→0) x^2/nx^(n-1)

=lim(x→0) x^(3-n)/n

所以n=3。

几何意义：

1、在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点。

2、所有其他的点xN+1，xN+2，（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。