如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,求证:CD...
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发布时间：2024-10-23 20:56
共2个回答
热心网友
时间：2024-11-09 17:25
证明：因为CD垂直AB
所以角ADC=角CDB=90度
因为角ADC+角ACD+角A=180度
所以角A+角ACD=90度
因为角ACB=角ACD+角BCD=90度
所以角A=角BCD
所以三角形ACD和三角形CBD相似（AA)
所以AD/CD=BD/CD
所以CD^2=AD*BD
所以CD^4=AD^2*BD^2
同理可证：AD^2=AE*AB
BD^2=BF*AC
所以AD^2*BD^2=AE*BF*AC*BC
因为S三角形ABC=1/2AC*BC=1/2CD*AB
所以CD^3=AE*BF*AB
热心网友
时间：2024-11-09 17:26
思路解析:分别在三个直角三角形Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明.
证明:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴CD2=AD·BD.
∴CD4=AD2·BD2.
又∵Rt△ADC中，DE⊥AC，
Rt△BDC中，DF⊥BC，
∴AD2=AE·AC，BD2=BF·BC.
∴CD4=AE·BF·AC·BC.
又∵AC·BC =AB·CD，
∴CD4=AE·BF·AB·CD.
∴AE·BF·AB=CD3.
