[顾樵 数学物理方法] Chap.1 基本数理方程
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发布时间：2024-10-23 21:08
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时间：2024-11-19 02:46
1. 波动方程的深入解析
开始于简单的弦振动分析，考虑无驱动力、忽略重力的自由振动，弦的微小振动使得张力保持恒定。分析一维弦振动，我们得到齐次偏微分方程[公式]，描述了振动点位移随时间和空间的变化。引入物理参量[公式]，即波速，方程简化为[公式]，它在自由振动和强迫振动中都适用，后者引入了力项[公式]。
对于强迫振动，如考虑重力或驱动力，方程变为非齐次方程[公式]，阻尼振动则通过考虑与速度成比例的阻力项[公式]，得到[公式]。这些方程不仅描述了弦振动，也适用于描述波动传播。
扩展到二维和三维，波动方程如[公式]和[公式]，适用于描述平面和三维空间中的波动现象，如电磁波等。电报方程在高频传输线问题中，通过简化得到[公式]，与阻尼弦振动类似，但多出一项[公式]。
2. 热传导的基本原理
热传导的基础是傅里叶定律，描述温度随时间和空间变化的偏微分方程。一维热传导方程[公式]在无外部热源的条件下，通过分析体积元的热量传递得到。稳态时，温度分布由[公式]给出，通过一维方程推广至二维和三维[公式]和[公式]。
3. 拉普拉斯方程的展现
二维热传导方程在稳态下的拉普拉斯方程[公式]，在静电场中与电势分布有关，形成三维非齐次拉普拉斯方程[公式]。拉普拉斯方程是物理问题如温度分布和电场分布的基础方程。
4. 二阶偏微分方程的分类
基本的二阶线性偏微分方程[公式]可以归结为双曲型[公式]、抛物型[公式]或椭圆型[公式]，根据二阶项系数的实根性质。特征方程[公式]用于分析特征线和方程的分类，如波动方程属于双曲型，热传导方程属于抛物型。
5. 定解问题与物理应用
泛定方程与初始和边界条件结合，形成定解问题，如弦振动的[公式]和热传导的[公式]。物理意义明确的边界条件如第一类（位置或速度）和第二类（温度或热流）边界条件，用于完整描述问题。定解问题的评估关键在于存在性、唯一性和稳定性，适定问题意味着方程能准确反映物理现象。
