...对任意实数a,b有f(ab)=af(b)+bf(a),且绝对值f(x)<=1, 求证:f...

发布网友 发布时间：2024-10-23 18:44

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热心网友 时间：2024-11-13 20:27

（1）此步推导一下就能得到：f(x^n)=f(x*(x^n-1))=x*f(x^n-1)+(x^n-1)*f(x)=x*[f(x*(x^n-2))]+(x^n-1)*f(x)
=x*[x*f(x^n-2)+x^n-2*f(x)]+(x^n-1)*f(x)
=x^2*f(x^n-2)+(x^n-1)*f(x)+(x^n-1)*f(x)=x^2*f(x^n-2)+2(x^n-1)*f(x)
上式首项可继续展开推导下去，直至首项变为(x^n-1)*f(x)，每次展开推导完毕后后项系数均增加1，直至变为(n-1)(x^n-1)*f(x)，再与首项合并成为n*(x^n-1)*f(x)，这是用演绎法可推导的结果，不是归纳法；
本例题只是要证明f(x)=0，所选方法其实还是假定了n为正整数；
（2）因lim n→∞ f(x^n)/(n*(x^n-1))=0，即f(x)=0，与之前假定至少有一点x使函数不为零当然是矛盾的了；
（3）当x<-1时 lim n→∞ 1/(n(x^n-1))＝0，因为分母的绝对值同样趋于无限大，此分数也是趋于0；
讨论x的绝对值，应是为了节省推导篇幅，意思表示取正取负结果一样；

热心网友 时间：2024-11-13 20:33

http://ditu.google.cn/maps?q=%E6%B9%96%E5%8D%97%E7%9C%81%E5%B2%B3%E9%98%B3%E5%B8%82%E5%B2%B3%E9%98%B3%E5%8E%BF&hl=zh-CN&ie=UTF8&sll=29.357104,113.128958&sspn=0.582902,0.877533&brcurrent=3,0x3427c922a1bb6a43:0xb8c0c28127f7ecbc,1,0x3427b7ca03e9c32f:0xf572a54fc05d930a%3B5,0,0&brv=25.1-fa8ed276_c3147e72_ccf32e81_040c821b_76b35545&t=h&hnear=%E6%B9%96%E5%8D%97%E7%9C%81%E5%B2%B3%E9%98%B3%E5%B8%82%E5%B2%B3%E9%98%B3%E5%8E%BF&z=9
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