...边长1的菱形 且角DAB=60°,PA=PD=根号2,PB=2,E,F是BC.PC的中点_百...
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发布时间：2024-10-23 19:23
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时间：2024-11-02 01:15
证明:
(1) 连接DB, DE. 三角形ABD BDC均为正三角形.DE为三角形BDC的高.故DE垂直于BC,从而推出AD垂直DE. (a)
连接EF,知EF//PB.(中位线定理) (b)
取AD的中点G.连接PG ,BG.知:AD垂直于PG, AD垂直于BG.即AD垂直于相交直线PG,BG,故AD垂直于平面PGB.
进而推出AD垂直于PB.(定理:垂直于平面的直线,就垂直于这平面上的任何直线).
又已经证明:EF//PB, 故推出AD垂直于EF. (c)
由(a) (c)知: AD垂直于平面DEF
(2) 由于:AD垂直于PG, AD垂直于BG,故角PGB即为二面角P--AD-B的平面角.
在三角形PGB中,BG = (根号3)/2, PG=根号(2-1/4)=(根号7)/2,又已知PB =2.
故cos(角PGB)=[7/4+3/4- 4]/[2*(根号7)/2 *(根号3)/2]= [-6/4]/[(根号21)/2]=-3/(根号21)
= - (根号21)/7.
即二面角P-AD-B的余弦值为: - (根号21)/7.
