...温度分别为T1,T2,若比热C=a+bT+cT^2...,证明两杯水混合后,Tm大于等...
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发布时间：2024-10-23 22:30
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热心网友
时间：2024-10-25 00:13
设T1<Tm<T2
C1*(Tm-T1)=C2*(T2-Tm)
Tm=(C1T1+C2T2)/(C1+C2)
C1<C2, T1<T2
根据排序不等式：
C1T1+C2T2>=C2T1+C1T2
2(C1T1+C2T2)>=C1T1+C2T2+C2T1+C1T2=(C1+C2)(T1+T2)
即：
Tm>=(T1+T2)/2，得证。
热心网友
时间：2024-10-25 00:08
1、楼主给出的比热没单位，稍显不足，但并不影响。故假定水的比热单位为：热量/(单位体积 度)，这样更便于解题；
2、比热中的系数a、b、c应该明确其符号及大小，这是关键。a＞0是没问题的。我的印象好像是水的 C 是随温度的升高而升高吧，所以，b＞0，且通常较a小两个数量级。至于系数c，不论其正负，在数值上，它通常要比b小4个数量级。有了这样的基本情况，才能证明。否则，情况也许会相反。
下面是证明。
假定 T1＞T2，水的比热随温度的升高而升高，则必有 T1＞Tm＞T2，且T1放热，T2吸热。
因C是与温度有关的，故T2升高dT时，其微过程的吸热量为：
δQ2=C×V×dT
最终达到平衡后，T2总吸热为 Q2=∫C×V×dT=V∫C×dT=VCm2(Tm-T2) ，（积分上界为Tm，下界为T2）,式中的Cm2是水在[T2,Tm]间的平均比热，为
Cm2=[1/(Tm-T2)]∫C×dT （积分中值定理）
同理， Cm1=[1/(T1-Tm)]∫C×dT 与 Q1= VCm1(T1-Tm)
由热平衡可知，Q1=Q2，于是得到：
Cm1(T1-Tm)=Cm2(Tm-T2)
讨论：
1、因为C随温度的升高而升高，故高温的C总是要大于低温的C；
2、高温区域[T1,Tm]的平均比热Cm1，显然要大于低温区域[Tm,T2]的平均比热Cm2。
于是，上式变为(T1-Tm)/(Tm-T2)=Cm2/Cm1<1
得到 Tm>(1/2)(T1+T2)
如果b=c=……=0，即比热是个常数（与温度无关），则Cm1=Cm2，得到
Tm=(1/2)(T1+T2)
综合结果为：Tm≥(1/2)(T1+T2)
命题得证。
所以，b 的符号很重要，如果 b<0，即如果比热是随温度升高而降低的话，则会有 Tm≤(1/2)(T1+T2) 的结论。
