2010函数DSP综合练习
第一、二章
一、填空题
1、线性系统对信号的处理是符合叠加原理的。
2、因果系统的时域充要条件是h(n)=0, n < 0 ,稳定系统的时域充要条件
| h | ( | n | ) | | | | 。 |
| | | | | | | |
3、因果、稳定系统的系统函数H(z)的收敛域可表示为R-<|z|≤∞,R-<1 。
4、序列x(n)的傅立叶变换是x(n)在Z平面单位圆上的Z变换。
5、Z 变换在单位圆上的值表示序列的频谱。 |
8、离散时间系统的时域特征可用h(n)来描述，也可用差分方程来描述。9、序列x(n)的傅立叶变换在S平面为虚轴对应的拉氏变换，而在Z平面为单位圆对应的Z变换。
10、描述离散时间系统的方法，时域有h(n)、差分方程，频域有H(z)。
11、现行时不变离散时间系统的时域分析和频域分析的方法有差分方程、单位脉冲响应和系统函数，其中瞬态分析是差分方程、单位脉冲响
应；稳态分析是系统函数。
12、系统函数称为全通函数的要求是幅频特性为常数1 ，系统函数称为 |
纯振幅函数的要求是相频特性为常数0。
13、数字域频率 | | 2所对应的信号的实际频率为 采样频率fs。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14、序列 | x 1 | ( | n | ) | | sin | | | n | | 的周期是12，序列 | x |
| | n | ) | | cos | | n | | | sin | | | n | | 的周期是 | ||||||||||||||||||
| 6 | | | 2 | | | | | | 4 | | | | | | 6 | | | ||||||||||||||||||||||||||||
N | | N | 1 | N | 2 | 2 | ) | | 8 | | 12 | | 8 | | 12 | | 24 | 。 | ||||||||||||||||||||||||||||
| gcd( | N | 1 | , | N | gcd( 8 , 12 ) | 4 | | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15、要使一个正弦序列 | x | ( | n | ) | | A | sin( | ) | 是周期序列，必须满足数字频率ω | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
是π的函数条件。
16、采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数，其周期为采样频率 | | s | |||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||
或 | f | s | ，折叠频率为 | | s | / | 2 | 或 | f | s | / | 2 | 。 | ||||||||||||||
| | | | | | | | | | | | ||||||||||||||||
17、某线性时不变离散系统的单位脉冲响应应为 | h | ( | n | ) | | 3 | n | u | ( | n | ) | ，则该系统的 | |||||||||||||||
因果性及稳定性分别为因果、非稳定。 | |||||||||||||||||||||||||||
分别为非线性及时不变。
20、有一连续信号 | xa | ( t | ) | | cos( | 40) | ，用采样间隔 | T | | 0 . 02 | s | 对 | xa | (t | ) | 进行采样，则 | ||||||||||||||||||||||||
采 | 样 | 信 | 号 | xa | ( t | ) | 的 | 表 | 达 | 式 | 为 | xa | ( t | ) | = | |||||||||||||||||||||||||
x | a | ( t | ) | | n | x | a | ( | nT | )( t | | nT | ) | | cos( n | 0 . 8n | )( t | | 0 . 02 | n | ) | ；采样后所得时域离散信号 | ||||||||||||||||||
x(n)的周期为N=5。
21、若一个理想采样及恢复系统，采样频率为 | s | | 6，采样后经一个带宽 | ||||||||||||||||||
为 | 3，增益为1/3 的理想低通还原。现有输入 | xa | ( t | ) | | cos5 | ， | ||||||||||||||
输出信号 | y | (n | ) | 为 | y | ( t | ) | | cos | 2 | | 2 | cos | 。 |
| ||||||
22、如果截止频率为π/8的低通数字滤波器，采样频率为fs=1/T=10kHz，那么等效的模拟滤波器的截止频率是 625Hz 。
23、对于稳定的因果系统，如果输入一个频率为ω0的复正弦序列
x | ( | n | ) | | e | j0 | n | ，则其输出为y(n)= | e | j0 | n | H | ( | e | j0 | ) | ，设系统的频率响应 | H | ( | e | j) | 已知。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | | | | | |
| | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24、设序列 | h | ( | n | ) | | 2( | n | | 1 ) | | ( | n | ) | | ( | n | | 1 ) | ，则 | H | ( | e | j) | | | 0 | 的值为 2 。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25、因果稳定系统的收敛域为 | R | X | | | | z | | | ，R | X | | | 1 | 。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26、若序列x(n)的傅里叶变换是 | X | ( | e | j) | ，则 | x | ( | n | ) | e | | j0 | n | 的傅里叶变换是 | X | [ | e j | (0 | ) | ] | 。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27、已知一个线性时不变离散系统的系统函数为 | H | ( | z | ) | | | | 0 . 3 | z | 0 . 5 | | 0 . 1 z | | ， | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | | ( 1 | | 1 | )( 1 | ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
若收敛域为10<|z|≤∞，试判断系统的因果稳定性 因果非稳定性 。
28、如果h(n)是实序列，式 | Hj j是否成立是。 | |||||||||||||||||||||||||
29、表达式 | X | ( | e | j) | | X | ( | z | ) | | | z | | e | j | ||||||||||||
位圆上的Z 变换，代表序列的频谱。 | ||||||||||||||||||||||||||
31、若h(n)为实序列，则 | | | H | ( | e | j) | | | 是偶对称的， | arg[ | H | ( | e | j)] | 是奇对 | |||||||||||||
称。
32、序列的傅里叶变换 | X | ( | e | j) | 是ω 的连续周期函数，周期为 2π。 |
二、判断题
1、实际工作中，抽样频率总是选得小于两倍模拟信号的最高频率。
（×）
2、因果系统一定是稳定系统。（×）
3、只要因果序列x(n)有收敛的Z变换形式，则其“序列傅氏变换”就一定存在。（×）
4、右边序列一定是因果序列。（×）
5、当输入序列不同时，线性时不变系统的单位脉冲响应也不同。（×）6、离散时间系统的滤波器特性可以由其幅频特性直接看出。（√）7、某系统只要满足T[kx(n)]=ky(n)，即可判断系统为线性系统。（×）8、差分方程的求解方法有递推法、时域经典法、卷积法和变换域法，其中递推法的求解依赖于初始条件和给定输入。（√）
9、确定一个线性时不变系统，在时域可由差分方程加初始条件，在Z域可由系统函数加收敛域。（√）
10、因果稳定系统的系统函数的极点均在单位圆内。（√）
11、稳定系统的收敛域必须包括单位圆。（√）
三、简答题
1、请说明采样定理的内容。
于或等于原信号频谱中最高频率Ωm的两倍。
2、请写出单位脉冲序列和单位阶跃序列的关系式。
答： | u | ( | n | ) | k0 | n | | k | ) | 1 ) | |||||
( | n | ) | | u | ( | n | ) | | u | ( | n | | |||
3、请写出矩形序列和单位阶跃序列的关系式。
答： | RN | ( | n | ) | | u | ( | n | ) | | u | ( | n | | N | ) |
4、请写出线性系统的定义及判定公式。
答：线性系统对信号的处理是符合叠加原理的。
判定条件：若系统输入序列分别为 | x 1n | ) | 和 | x | 2n |
)时，输出序列分别为
y 1n | ) | 和 | y | 2n | ) | 即： | y 1 | ( | n | ) | | T | [ | x 1 | ( | n | )] | ，那么当系统输入为 | ax 1 | ( | n | ) | | bx | 2 | ( | n | ) | 时， | ||||||||||||||||||
( | n | ) | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y | 2 | T | [ | x | 2 | ( | n | )] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
有： | ax 1 | ( | n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T | [ | ) | | bx | 2 | ( | n | )] | | ay 1 | ( | n | ) | | by | 2 | ( | n | ) | 成立，则该系统为线 | |||||||||||||||||||||||||||
性系统。
5、请写出时不变系统的定义及判定公式。
答：时不变系统是指系统对信号的处理（运算）不随时间的改变而改变。
判定条件：若系统输入序列为x(n)时，输出序列为y(n)
即：y(n)T[x(n)]，那么当系统输入为x(nn0)时，
有：T[x(nn0)]y(nn0)成立，则该系统为时不变系统。
6、请写出因果系统的定义及判定公式。
答：因果系统指的是系统现时刻的输出值仅决定于现时刻的输入值
说，系统是符合；“有因才有果”“前因后果”关系的。
判定条件：h(n)0 ，n＜0。
7、请写出稳定系统的定义及判定公式。
答：稳定系统指的是在输入序列幅度有界的情况下，系统输出序列的幅
度亦有界。
判定条件： |h(n)|
n
8、请写出数字信号处理中常用Z变换的三条性质。
答：（1）线性性质：如果：Z[ x ( n )]X ( z ) ，R x|z|R x
Z | [ | y | ( | n | )] | | Y | ( | z | ) | ， | R | y | | | | z | | | R | y | |
则对任意常数a、b，Z变换都能满足以下等式：
Z[ax(n)by(n)]aX(z)bY(z)，max(Rx,Ry)|z|min(Rx,Ry)
（2）移位性质：如果：Z[x(n)]X(z)，Rx|z|Rx
则序 列 x(nn0)的 Z变换 为 ：
Z[x(nn0)]zn0X(z) ，Rx|z|Rx
（3）序列卷积：如果：Z[x(n)]X(z)，Rx|z|Rx
Z[y(n)]Y(z) ，Ry|z|Ry
且：w(n)x(n)y(n)
则：Z[w(n)]X(z)Y(z)，max(Rx,Ry)|z|min(Rx,Ry)
9、请写出S平面和Z平面的对应关系。
S 平面的左半平面对应于Z平面的单位圆内的区域
S平面的右半平面对应于Z平面的单位圆外的区域
10、简述系统函数的频率响应H(ej)的应用。
答：系统函数的频率响应H(ej)是一个非常重要的物理量，它通常为复
数且为的函数：
H(ej)H(z)| zej|H(ej)| ej()
其中|H(ej)|称为系统函数的幅频特性，而()称为相频特性，它们分别表
示了系统的幅度和相位特性。由于|H(ej)|决定着输出幅度的大小，所以系
统的滤波特性可以由幅频特性直接给出。
11、从差分方程出发，给出时域分析法和Z域分析法的内容。
答： | y | ( | n | ) | | N i0 | a | i | x | ( | n | | i | ) | | N i1 | b i | y | ( | n | | i | ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h | ( | n | ) | h |
| n | ) | | H | ( | z | ) | | H | ( |
| ) | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y | ( | n | ) | | x | ( | n | ) | | ( | n | ) | | Y | ( | z | ) | | X | ( | z | ) | z | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h | ( | n | ) | | 0 | | n | | 0 | H | ( | z | )的ROC | : | R | x | | | | z | | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n | h | ( | n | ) | | | | H | ( | z | )的ROC | : | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
含单位园 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12、某系统输入 | x | (n | ) | 与输出y(n)为 | y | ( | H | ( | e | j) | | H | ( | z | ) | | | z | | e | j | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | ( | n | ) | sin(n | ) | ，请说明该系统是否为线 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
性和时不变系统。
四、画图题
1、请图示下述序列：
（1）sin(0n)R8(n)(n6)，其中
（2）2nu (n2 )
（3）
23
n · · · 22 n
0 1 2 3 4 5 6 7 －7 －6 －5－4－3－2－1
－0.707 －0.707
2-2
2-3
2-4
2-5 ·· ·
n
0 1 2 3 4 5 6
2、请给出模拟信号数字化处理系统的基本组成方框图，并说明其中所需滤
波器的作用和相应的截止频率。
xa(t) |
|
| x(n) |
| y(n) | | ya(t) |
|
|
|
|
|
| |
模拟信号数字化处理系统的基本组成方框图
需要前置滤波器和后置滤波器共两个，它们的截止频率均为fsa/2。
五、计算题
1、已知某因果系统的系统函数 | H | ( | z | ) | | | z | 1 | | ， | ||
| | | | | | 1 | | 1 | z | 1 | | |
| | | | | | | | 3 | | | | |
（1）请求出该系统的单位脉冲响应h(n)；
（2）如输入序列为 | x | ( | n | ) | | R | 4n | ) | ，计算此时系统的输出序列y(n)； |
（3）判断该系统的稳定性。
解：（1） 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（2） | x | ( | n | ) | | R | 4 | ( | n | ) | | ( | n | ) | | ( | n | | 1 ) | | ( | n | | 2 ) | | | ( n | | 3 ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y | ( | n | ) | | x | ( | n | ) | | h | ( | n | ) | | ( | 1 | ) | n | 1 | u | ( | n | | 1 ) | [ | ( | n | ) | | ( | n | | 1 ) | | ( | n | | 2 ) | | ( | n | | 3 )] | |||||||||||||||||||||||
| | | |
| | 3 | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | ) | n | 1 | u | ( | n | | 1 ) | | ( | 1 | ) | n | | 2 | u | ( | n | | 2 ) | | ( | 1 | ) | n | | 3 | u | ( | n | | 3 ) | | ( | 1 | ) | n | | 4 | u | ( | n | | 4 ) | ||||||||||||||||||||
3 | | 3 | |
| 3 | | | | 3 |
| |
| | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3) H(z)的ROC 为：|z|＞，包含单位圆1 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
该系统是稳定的。
2、设某线性时不变系统的单位脉冲响应序列 | h | ( | n | ) | | 0 . 5 | n | u | ( | n | | 1 ) | ，求其系统函 |
数、差分方程和频响，并画出该系统的正准型结构。 解：求系统函数H(z)
∵ | h | ( | n | ) | | 0 . 5 | n | u | ( | n | | 1 ) | | 0 . 5 | | 0 . 5 | n | 1 | u | ( | n | | 1 ) |
∴根据z变换的移序性质有：
H | ( | z | ) | | 0 . 5 | | | | z | 1 | | |
| | | | | | | 1 | | 0 . 5 | z | 1 | |
求差分方程
∵H(z)=Y(z)/X(z)
∴ | Y | ( | z | ) | / | X | ( | z | ) | | 1 | 0 . 5 | z | 1 | 1 | ( | z | | ||||||||
| | | | | 0 . 5 | z | ) | |||||||||||||||||||
Y | ( | z | )( 1 | | 0 . 5 | z | 1 | ) | | 0 . 5 | z | 1 | X | |||||||||||||
Y | ( | z | ) | | 0 . 5 | z | 1 | X | ( | z | ) | | 0 . 5 | z | 1 Y | ( | z | ) | ||||||||
对以上方程两边同时取Z反变换
y(n)=0.5x(n-1)+0.5y(n-1) | ||||||
| H | ( | e | j) | e | j() |
画正准型结构
x(n) y(n) z-1
0.5 | H | 0.5 | |||||||
3、设某因果数字系统的系统函数为 | 1 | ||||||||
y(n)=0；当输入序列为 | x | ( | n | ) | | ( | n | ) | |
解：∵ | H | ( | z | ) | | | | 1 | |
| | | Y | ( | z | ) |
| | | | | | 1 | | 0 . 3 | z | | 2 | | X | ( | z | ) |
∴y(n)=x(n)+0.3y(n-2)
∵初始条件全部为零，即：
y(n)≡0 n＜0时
∴y(0)=x(0)+0.3y(-2)=1
y(1)=x(1)+0.3y(-1)=0
y(2)=x(2)+0.3y(0)=0.3
y(3)=x(3)+0.3y(1)=1
y(4)=x(4)+0.3y(2)=0.32
y(5)=x(5)+0.3y(3)=0.3
y(7)=0.3y(5)=0.32
……
4、已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位抽样响应为h(n)，试求
系统的输出y(n)。
（1）x(n)(n),h(n)R5n)
（2）x(n)R3n),h(n)R4n)
（3）x(n)(n2), h(n)0. 5 nR3n)
（4）x( n )2 n u (n1 ), h ( n )0 . 5 n u ( n )
分析
① 如果是因果序列， | y | (n | ) | 可表示成 | y | ( | n | ) | | y | ( | 0 ), | y | ( 1 ), | y | ( | 2 ), | | 。例如，小题（2） | |||||||||||||||||||||||||
的结果可表示为 | y | ( | n | ) | | 1 , | 2 , 3 , 3 , | 2 , 1 | 。 | | m | ) | 。 | |||||||||||||||||||||||||||||||
② | ( | n | ) | | x | ( | n | ) | | x | ( | n | ),( | n | | m | ) | | x | ( | n | ) | | x | ( | n | ||||||||||||||||||
③ 卷积和求解时，对要分段处理。
解：
（1） | y | ( | n | ) | | x | ( | n | ) | | h | ( | n | ) | | R 5n | ) | 2 , 1 | R 3 | ( | n | | 2 ) | |||||||||||||
（2） | y | ( | n | ) | | x | ( | n | ) | | ||||||||||||||||||||||||||
h | ( | n | ) | | 1 , | 2 , 3 , 3 , | ||||||||||||||||||||||||||||||
（3） | y | ( | n | ) | | ( | n | | 2 ) | | 0 . 5 | n | R 3 | ( | n | ) | | 0 . 5 | n | | 2 | |||||||||||||||
（4） | x | ( | n | ) | | 2 | n | u | ( | | 0 . 5 | n | u | ( | n | |||||||||||||||||||||
n | | 1 ), | h | ( | n | ) | | ) | ||||||||||||||||||||||||||||
得：
y | ( | n | ) | | 1 m | 0 . 5 | n | | m | ||||
5、已知： H ( z ) | |||||||||||||
应 | h | (n | ) | 的 | |||||||||
表达式。
解：由X(z)的表达式可求得极点为 | z 1 | | 1 | ，z |
| | 2 | ，则收敛域有3 种可能： | ||||||||||||
2 | 2 | | ||||||||||||||||||
| | z | | | 1 | ， | 1 | z | | | 2 | ， | | | z | | | 2 | |||||||
| 2 | | 2 | | | |||||||||||||||
（1）当收敛域为 | | | z | | | 1 | 时，X(z)式中第1、2 项都为左边序列，则对应的 | |||||||||||||||
|
| | 2 | |||||||||||||||||
序列为：
| h | ( | n | ) | | | 3 | 1 | | n | | 2 | n | 1 | | u | ( | | n | | 1 ) | | |
（2）当收敛域为 | | | | | | 2 | |
| | |
| | | |
| | | | | | |||
1 | z | | | 2 | 时，X(z)第1 项为右边序列，第2 项为左边序 | |||||||||||||||||||
| 2 | | |||||||||||||||||||||
列，则对应的序列为：
| | h | ( | n | ) | | 3 | 1 | | n | u | ( | | ) | | 2 | n | 1 | u |
| | n | | 1 ) |
（3）当收敛域为 | | | | | | | | 2 | | | |
| | | | |
| | |
| | | | | |
z | | | 2 | 时，X(z)式中第1、2 项都为右边序列，则对应的 | |||||||||||||||||||||
序列为：
h | ( | n | ) | | 3 | 1 | | n | | 2 | n | 1 | | u | ( | n | ) |
| | | | | | 2 | |
| | |
| | | |
| | |
第三章
一、填空题
1、有限长序列x(n)的离散傅立叶变换X(k)就是x(n)在Z平面单位圆上的等距离抽样点上的Z变换。
2、模拟时域抽样不失真条件 。数字频域抽样不失真条件 N≥ |
列。
二、判断题
1、有限长序列x(n)的离散傅立叶变换X(k)就是在Z平面单位圆上的Z变换。
（×）
2、FFT与DFT在本质上根本不同。（×）
3、DFT算法使信号的实时处理成为可能。（×）
4、有限长序列由于不存在傅立叶变换，所以才去求它的离散傅立叶变换。
（ × ） |
|
5、对于离散傅里叶变换而言，其信号特点是：时域、频域均离散周期。
（√）
6、实序列 | x | (n | ) | 的10 点 | DFT | [ | x | ( | n | )] | | X | ( | k | ) | ( | 0 | k | | 9 ) | ，已知 | X | ( 1 ) | 1 | | j | ，则 | |||||
X | ( 9 ) | 1 | | j | 。（ × ） | |||||||||||||||||||||||||||
7、FFT 是序列傅里叶变换的快速算法。（ × ） | ||||||||||||||||||||||||||||||||
8、离散傅立叶变换隐含周期性。（√） | ||||||||||||||||||||||||||||||||
三、简答题
1、简述时域采样定理和频域采样定理的内容。
答：做一个概念的类比，时域采样、频域周期延拓，如不造成频域混叠，
延拓周期s（或fs）必须大于或等于原模拟信号（非序列x(n)）频宽，即
满足f s≥2 fc。则频域采样、 如不造成时域混叠，延拓周期N
（时间周期NT）必须大于或等于原非周期信号（非周期序列）时宽，即满
足N≥M。
2、写出序列 x ( n )( 0nN1)的离散时间傅氏变换X ( e )、离散傅氏变换X(k)
和Z变换X(z)的定义式，并说明这三种变换之间的关系。
答： | X | ( | e | j) | | N1 n0 | x | ( | n | ) | e | | jn | ||||||||||
X | ( | k | ) | | N1 n0 | x | ( | n | ) W | nk | 0 | | k | | N | | 1 | ||||||
N | |||||||||||||||||||||||
X | ( | z | ) | | N1 n0 | x | ( | n | ) | z | | n | |||||||||||
X | ( | k | ) | | X | ( | e | j |
| ||||||||||||||
| | | | | | | | | |||||||||||||||
X | ( | e | j) | | X | ( | z | ) | z | | e | j | ，或序列傅氏变换实质上就是单位圆上的Z 变换。 |
3、请说明DFT隐含周期性（离散傅氏变换DFT与离散傅氏级数变换DFS有
什么关系？）。
答：
x(n)X(k)
IDFT
截取主值周期延拓 周期延拓截取主值
xp(n)Xp(k)
IDFS
4、用圆周卷积计算线性卷积的条件
答：设x1n)是长度为N1的有限长序列，x2n)是长度为N2的有限长序列，
则线性卷积为
yl ( n )x ( n )x ( n )
yl(n
设) x 1n )是长度为L的有限长序列，x 2n )也是长度为L的有限长序列，
则圆周卷积为
yc(n)x1n) x2n)
yc(n)是一个长度为L的有限长序列。
所以L点圆周卷积yc(n)是线性卷积yl(n)以L为周期的周期延拓序列的
主值序列。因为yl(n)有N1+N2-1个非零值，所以只有当L≥N1+N2-1时，各
延拓周期才不会混叠，也即要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠失真
的充要条件是：L ≥ N1+N2-1。
5、简述DFT 参数选择的一般原则
答：（1）确定信号的最高频率 | f | c | 后，为防止混叠，采样频率 | f | s | | ( 3 | ~ | 6 ) | f | c | 。 |
（2）根据实际需要，即根据频谱的“计算分辨率”需要确定频率采样两点之间的间隔F，F越小频谱越密，计算量也越大。
（3）F确定后，就确定做DFT所需要的点数N，即
N | | f | s |
| | F | |
为了使用基2-FFT 算法，一般取N=2M，若点数N 已给定且不能再增加， | |||
可采用补零的分法使N为2的整数幂。
（4） | f | s | 和N 确定后，则可确定所需要的数据长度，即 | ||||||||||||||||||||||||||||||
T | P | | N | | NT | ||||||||||||||||||||||||||||
f | s | ||||||||||||||||||||||||||||||||
四、画图题 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
采样 | 截短 | DFT | |||||||||||||||||||||||||||||||
X a | ( | ) | X | ( | e | j) | X | N | ( | e | j) | | X | ( | e | j) | | W | R | ( | e | j) | X | Ne | j) | N | k | ||||||
时域采样 | 频域采样 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
在此分析过程中会产生混叠效应、截短效应、栅栏效应。
五、计算题
1、设 | X | (k | ) | 表示长度为N 的有限长序列 | x | (n | ) | 的DFT |
证明：
N1 | | | x | ( | n | ) |
| 2 | | 1 | N1 | | | X | ( | k | ) |
| 2 | | ||||||
| | | | | | | | | N |
| | | | | | | | |
这就是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。
证明：
X | ( | k | ) | | DFT | [ | x | ( | n | )] | | N1 n0 0 , | x | ( | n | ) W | nk | , | 0 | | k | | N | | 1 | | 1 | ||||||||||||||||||||
N | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
其它 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | ( | n | ) | | IDFT | [ | X | ( | k | )] | | 1 N 0 , | N1 k0 | X | ( | k | ) W | | kn | , | 0 | | n | | N | ||||||||||||||||||||||
N | | | | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
其它 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
由有限长序列 | x | (n | ) | 的性质 | | x | ( | n | ) | x | | ( | n | ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| | x | ( | n | ) | | | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
可得
N1 n0 | | | x | ( | n | ) | | | 2 | | N1 n0 | x | ( | n ) x( n ) | |||||||||
| |||||||||||||||||||||
| 1 | N1 k0 | X | | ( | k | ) | X | ( | k | ) | ||||||||||
N | | | | | | | | | | ||||||||||||
所以
N1 | | | x |
| n | ) | | | 2 | | 1 | n1 | | | X | ( | k | ) |
| 2 | ||||||
| | | | | | | | | N |
| | | | | | | | ||||||
2、已知某有限长序列x(n)=｛1,2,3,4｝，n=0,1,2,3，求该序列的离散傅里叶 | |||||||||||||||||||||||
变换X(K)。
解： | X | ( | k | ) | | N1 n0 | x | ( | n | ) | e | | j | 2 nk N | , k=0, 1, 2, 3 | ：N=4 |
X | ( | 0 ) | | N1 n0 | x | ( | n | ) | | 1 | | 2 | | 3 | | 4 | | 10 | X | ( | e | j) | 如图所示。 | |||||||||||||||||||||||||||||
X | ( 1 ) | | N1 n0 | x | ( | n | ) | e | | j | 2 nk 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| e | | j | 2 0 4 | | 2 e | | j | 2 1 4 | | 3 e | | 2 j 4 | 2 | | 4 e | | j | 2 3 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | | 2 ( | | j | ) | | 3 ( | 1 ) | | 4 | j | | 2 | | 2 | j | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
X | ( | 2 ) | | e | | j | 2 2 . 0 4 | | 2 e | | j | 2 2 . 1 4 | | 3 e | | j | 2 2 . 2 4 | | 4 e | | j | 2 2 . 3 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | | ( | 2 ) | | 3 | | 4 ( | 1 ) | | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X | ( 3 ) | | e | | 2 j 3 . 0 4 | | 2 e | | j | 2 3 . 1 4 | | 3 e | | j | 2 3 . 2 4 | | 4 e | | j | 2 3 . 3 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
= | 1 | | 2 | j | | ( | 3 ) | | ( | 4 | j | ) | | 2 | | 2 | j | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
3、设某有限长序列x(n)的长度N=4，其序列的傅氏变换 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
请写
出x(n)所对应的4点DFT，即X(k)之值。
X ( e j)
ω
0 | π | 2π | N | | 4 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||
解：∵ | X | ( | k | ) | | X | ( | e | j) | | | 2 k N | k | | 0 , 1 , | 2 , | | | , | N | | 1 | 且 | |||||||||||||||
| | F | | 50 | Hz | ，信号最高频 | |||||||||||||||||||||||||||||||
∴ | X | ( | k | ) | | X | ( | e | j) | | k 2 | k | | 0 , 1 , | 2 , 3 | |||||||||||||||||||||||
∴ | X | ( | 0 ) | | X | ( | e | j) | | | 0 | 2 | X | ( 1 ) | | X | ( | e | j) | | 2 | | 1 | ||||||||||||||||
X | ( | 2 ) | | X | ( | e | j) | | | | 0 | X | ( 3 ) | | X | ( | e | j) | |3 2 | 1 | ||||||||||||||||||
4、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
率为1kHz，试确定以下各参数：
（1）最小记录时间T pmin；
（2）最大取样间隔Tmax；
（3）最少采样点数Nmin；
（4）在频带宽度不变情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：（1）在已知F=50Hz
| Tp | | | 1 | | 1 | | 0 . 02 | s | | | ||||||||||||||
（2） | min | | F | 50 | | 0 . 5 ms | |||||||||||||||||||
T | | 1 | | 2 | | 1 | | 2 | 1 | 3 | |||||||||||||||
| max | | f | s | min | f | s | max | | 10 | | | |||||||||||||
（3） | N | min | | T | p | / | T | | 0 . 02 | / | 0 . 5 | | 10 | 3 | | 40 | |||||||||
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该记录时间扩大一倍
0.04s 实现频率分辨率提高1 倍 | | F变为原来的 | 1 | | |||
| | 2 | | ||||
N | min | | 0 . 50 . 04 | ||||
一、填空题 | |||||||
1、在双线性变换中，S平面的左半平面对应于Z平面单位圆内的
区域。
2、在双线性变换中，S平面的右半平面对应于Z平面单位圆外的
区域。
3、在利用双线性变换法设计数字滤波器时，所用到的两个变换公式分别为
| |
| tg | 和 | s | | 2 | | 1 | | z | 1 | 。 | ||
| | T | | 2 | | | T | | 1 | | z | 1 | | ||
4、在利用双线性变换法设计数字滤波器时，需要用到公式 2，该 | |||||||||||||||
率ω之间的关系。
5、在利用双线性变换法设计数字滤波器时，需要用到公式 | s | | 2 | | 1 | | z | 1 | ，该 | |
| | T | | 1 | | z | 1 | | ||
公式的意义是 | 表示S 平面与Z 平面之间的映射关系。 | | | | | | | | ||
6、在脉冲响应不变法中，S平面的左半平面对应Z平面的单位圆内
区域，S 平面的虚轴对应Z 平面的 | 单位圆上区域。 |
7、从频率看，脉冲响应不变法是一种线性变换,不适应于设计高通、带
阻等数字滤波器。
8、数字域 | | 2所对应的信号的实际频率为采样频率fs。 |
9、脉冲响应不变法的缺点是会产生频率混叠现象，优点是ω和Ω成
线性关系，因此只适合低通和带通滤波器的设计。双线性变换法的优点是不会产生频率混叠现象，付出的代价是ω和Ω成非线性关系，因此适 |
特殊要求，宜选用双线性变换法。
11、数字滤波器的传输函数 | H | ( | e | j) | 的周期为 2π，低通滤波器的通带处于 |
2π的整数倍附近，而高通滤波器的通带处于π的奇数倍 附近，这一
点和模拟滤波器是有区别的。
12、某一模拟滤波器系统函数的极点位于s平面左半平面，采用脉冲响应不
变法映射数字滤波器，则所得数字滤波器系统函数的极点位于z平面单位
圆内。
13、设理想低通数字滤波器的截止频率c /2，该滤波器是在T=0.1ms时用脉冲响应不变法转换理想低通滤波器得到的，则该模拟滤波器的截止频
率 | | c | = 5000π rad/s 。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14、双线性变换是一种从s 平面到z 平面的映射，若 | s | | | j | | ，则|z|= | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( 1 | | T | / | 2 ) | 2 | | ( | T | / | 2 ) | 2 | 。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( 1 | | T | / | 2 ) | 2 | | ( | T | / | 2 ) | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15、脉冲响应不变法是从时域出发，利用h(n)来模仿 | ha | (t | ) | ，即使h(n)等于 | ha | (t | ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
的采样值。设某一模拟滤波器的传输函数 | H a | ( | s | ) | | s | 1 | 1 | | s | 1 | 2 | ，则利用脉冲 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
响应不变法得到的数字滤波器系统函数 | H | (z | ) | = | 1 | | e | 1 | z | 1 | | 1 | | e | 1 | z | 1 | 。（设采 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0 . 1 | | 02 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
样周期T=0.1s。） | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16、假设某模拟滤波器 | H | (s | ) | 是一个高通滤波器。通过 | s | zz | | 1 | 映射为数字滤 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | | | | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
波器 | H | (z | ) | ，则所得数字滤波器 | H | (z | ) | 为低通滤波器。若 | H | (z | ) | 是一个低通滤 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
波器，则 | H ( z | ) | 是一个高通滤波器。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
二、判断题 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3、双线性变换可以克服频谱混叠，其代价是频率变换的非线性。（√） | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4、在双线性变换法中，不可以将关系 | s | | 2 | 1 | | z | 1 | 直接代入 | H | (s | ) | 来获取 | H | (z | ) | 。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | T | 1 | | z | 1 | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（×）
5、在脉冲响应不变法中，可以将关系 | z | e | ST | 直接代入 | H | (s | ) | 来获取 | H | (z | ) | 。 |
（×）
三、简答题
1、设计数字滤波器的一般步骤。
答：（1）按照实际需要确定滤波器的性能指标。
（2）设法寻找一个因果稳定的系统函数H(z)，使其频响满足这个性能
指标。
（3）用适当的结构去实现上步得到的转移函数H(z)，即得到符合要求
的数字滤波器。
2、设计IIR数字滤波器有哪几类方法？
答：第一类方法：利用模拟滤波器的设计理论来设计数字滤波器。
第二类方法：利用最优化设计方法，借助计算机进行设计。
3、利用模拟滤波器的设计理论来设计数字滤波器的设计过程。
4、把H(s)转换到H(z)是应遵循的两个基本目标是什么？
答：第一：由于Ha (s)的频率响应Ha ()是定义在S平面的虚轴j上的，
而H(z)的频响H(ej) 是定义在Z平面的单位圆ej上，因而这
第二：如果
个变换应使S平面的虚轴
H a (s )是稳定的，则通过变换后，得到的H(z)仍然应该转换到Z平面的单位圆上。
位圆内。
四、画图题
1、请画出用双线性变换法设计DF-LP和DF-HP的设计流程图。
| ctg |
|
| 1z1 Sc 1 |
| |||||||||
ctg |
LP | 1 |
原型设计 | 1
sLP s | | |||||||||
1z1
1 |
| | ||||||||||||
| ||||||||||||||
五、计算题
1、已知模拟系统函数 | H | | s | ) | | | | | 2 | | | ，采样周期T=0.25 s。 |
| a | | | | | s | 2 | | 3 s | | 2 | |
试用脉冲响应不变法和双线性变换法将以上模拟系统函数转换为数字
系统函数H(z)，并求解两种数字系统函数的频率响应。
解：用脉冲响应不变法：
H | a | ( | s | ) | | s | 2 | | 2 | | 2 | | s | 2 | 1 | | | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 s | | s | | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H | ( | z | ) | | 1 | | 2 | z | 1 | | 1 | | e | 2 | T | z | 1 | | 1 | | e | 2 | z | 1 | | | | e | 2 | z | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e | T | | 2 | | 0 . 25 | 1 | | 0 . 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | | ( | e | | 2 ( | e | 0 . 25 | | e | 0 . 5 | ) | z | 1 | 0 . 75 | z | | 2 | | 1 | | 0 . 3445 | z | 1 | |
| 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 . 25 | | e | | 0 . 5 | ) | z | 1 | | e | | 1 . 3853 | z | 1 | | 0 . 4724 | z | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H | ( | e | j) | | H | ( | z | ) | z | | e | j | | 1 | | 0 . 3445 e | | j | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 . 3853 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
用双线性变换法： | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0 . 0222 | | 0 . 0444 | z | 1 | | 0 . 0222 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | | 1 . 3778 | z | 1 | | 0 . 4667 | z | | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H | ( | e | j) | | H | ( | z | ) | z | | e | j | | 0 . 0222 | | 0 . 0444 e | | j | | 0 . 0222 e | | j | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | | 1 . 3778 e | | j | | 0 . 4667 | e | | j | 2 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2、用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹数字低通滤波器，采样频率为
f s | | 1 . 2 | kHz | ，截止频率为 | fc | | 400 | Hz | 。 | |||||||||||||||||||
解：（1） | c | | 2c | T | | 2c | | 1 | | 2 | 400 | | 1 | | 2 | | ||||||||||||
| | f | s | 1200 | 3 | |||||||||||||||||||||||
（2）预畸： | ‘ | c | | 2 | tg | c | | 2 | tg | | | 2 | 3 | | ||||||||||||||
T | T | 3 | T | |||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||
（3）将 | | ' | 代入三阶巴特沃兹模拟低通传递函数 | |||||||||||||||||||||||||
H | | | s | ) | | | | | | | | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 | | | | | | | | | | | | ||
| a | | | | | | s | | | 3 | | 2 | s | | 2 | | 2 | s | | | 1 | | | T | | | 3 | s | 3 | | 2 | T | | | 2 | s | 2 | | 2 | T | | | s | | 1 | |
| | | | | | | | ' | | | | | | ' | | | | | | ' | | | | | 2 | 3 | | | | | | | 2 | 3 | | | | | | | 2 | 3 | | | | |
c | c | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（4）双线性变换
H | ( | z | ) | | H | a | ( | s | ) | s | | 2 | 1 1 | z | 1 | | | 1 | | z | 1 | 1 | ) | | 3 | | 2 | | 1 | | 1 | 1 | ) | | 2 | | 2 | | 1 | | z | 1 | 1 | ) | | | 1 | |||||||||||||||||||||||||
z | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T | z | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ( 1 | | z | 3 | ( 1 | | z | 3 | ( 1 | | z | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ( | 7 | | 5 | 3 | ) | | ( 3 | 3 | 3 | ( 1 | | 3 | z | 1 | | 3 | z | 2 | | z | 3 | ) | ( | 7 | | 5 | 3 | ) | z | | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 3 | ) | z | 1 | | ( 3 | | 7 | 3 | ) | z | | 2 | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 . 196 | | 15 . 588 | z | 1 | | 15 . 588 | z | 2 | | 5 . 196 | z | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
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| | T | | | | | | T | | | 2 | f | r | | | | | | | | | | | ||||||
|
| | cot | | r | | cot | | f | s | | | T | cot | | 317 | | T | | 0 . 6498 | ||||||||||
| r | | 2 | | | 2 | | 2 | | | 2 | | | 2 | | | 1000 | | 2 | | | |||||||||
| 1 | | 0 . 6498 | | 3 . 249 | | 10 | | 4 | |||||||||||||||||||||
|
| | 2 | f | | |
| | | | | | | | | | | |||||||||||||
s | ||||||||||||||||||||||||||||||
（4）确定巴特沃思滤波器的阶数
取 | | p | | | c， | s | | | r | ，则 | 1 g | | 10 1 . 8 | | 1 | | | 0 . 8976 | | 2 . 9821 | ||||||||||||
| 1 g | | 10 | 0 . 1 | A s | | 1 | | | |||||||||||||||||||||||
N | 10 | 0 . 1 | A | p | | 1 | 10 | 0 . 3 | | 1 | ||||||||||||||||||||||
| | | | | | 1 g | | | s | | | | | 1 g | | 0 . 6498 | | | 0 . 3010 | | | |||||||||||
| | | | | | | | | | | 0 . 32492 | | | | | |||||||||||||||||
| | | | | | p | | | | | | | | | ||||||||||||||||||
取N=3能满足要求。三阶巴特沃思模拟低通滤波器原型为
H | a | ( | s | ) | | s | 3 | | 2 | s |
波器的系统函数 | ||||||||||
第七章
一、填空题
1、IIR系统的单位脉冲响应无限长，流图结构中有反馈支路。2、FIR系统的系统函数中分母因式为 1 ，流图结构中没有反馈支路。
3、IIR滤波器的流图结构中有反馈支路，所以称为递归型结构。
4、FIR滤波器的流程图结构中可以没有反馈支路，所以称为非递归型
结构。
5、无限长单位脉冲响应数字滤波器的基本结构有直接I型、典范型、级联型和并联型四种。
6、FIR数字滤波器的基本结构有直接型、和级联型。而直接型也可称为卷积型。
7、运算结构不同，所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响运算的复杂性，后者影响运算的速度。
8、在IIR滤波器中的几种结构中，直接型II型或典范型结构所用的延时器最少，级联型结构可以灵活控制零极点特性，并联型结构量
化误差累计最小。
9、线性时不变数字滤波器的算法可以用加法器、乘法器和延时 |
11、一般情况下，从结构流图上看，FIR滤波器与IIR滤波器的结构最大不同在于不存在反馈。
12、已知一滤波器的结构如图所示，其系统函数为 | H | ( | z | ) | | | | 1 | | 2 | z | 1 | | | | 。 |
| | | | | | 1 | | 5 | z | 1 | | 8 | z | | 2 | |
1
x(n)о •• • оy(n)
5 | z-1 | 2 |
• • •
8 z-1
• •
13、已知系统单位脉冲响应为： | h | ( | n | ) | | ( | n | ) | | ( | n | | 3 ) | | (，求其系统函数 | |||||||||||
H | ( | z | ) | | 1 | | z | | z | 7 | 。 |
| ||||||||||||||
14、级联型数字滤波器的H(z)是各子系统Hi (z)的乘积，而并联型数字
滤波器的H(z)是各子系统Hi (z)的相加。
15、用信号流图表示滤波器结构简洁但不直观。
16、用方块图表示滤波器结构直观但不简洁。
二、判断题
1、FIR滤波器的系统函数无分母因式，系统具有递归型结构。（×）
2、用方块图表示滤波器结构更直观但不简捷。（√ ）
3、级联型数字滤波器的H(z)是各子系统Hi (z)的乘积，而并联型数字滤波器
的H(z)是各子系统Hi (z)的和。（√）
4、级联型数字滤波器的h(n)是各子系统hi(n)的乘积，而并联型数字滤波器
的h(n)是各子系统hi(n )的和。
5、IIR数字滤波器的并联型结构可以单独调整零、极点位置。（ ×）
7、FIR 系统的差分方程中有输出信号y(n)的时延信号。（× ）
三、简答题
1、请给出IIR滤波器和FIR滤波器的分类原则和各自特点。
四、画图题
1、请写出下图所示系统的差分方程、系统函数，并将其用直接型实现。系
统的流图结构如下图所示：
x | (n | ) | 2 | z | 1 | 2 | y | (n | ) |
| |
3 | -2.5 | ||||||||||
z | 1 | ||||||||||
-1.3 | |||||||||||
| |||||||||||
z1
11.5
解：由图可见，该系统的差分方程可写为：
y(n)=2x(n)-2.5x(n-1)-1.3x(n-2)+1.5x(n-3)+2y(n-1)+3y(n-2)+y(n-3)
对上式两边取Z变换可得：
Y | ( | z | )( 1 | | 2 | z | 1 | | 3 | z | 2 | | z | 3 | ) | | X | ( | z | )( | 2 | | 2 . 5 | z | 1 | | 1 . 3 | z | 2 | | 1 . 5 | z | 3 | ) | |||||||
H | ( | Z | ) | | 2 | | 2 . 5 | z | 1 | | 1 . 3 | z | | 2 | | 1 . 5 | z | | 3 | ||||||||||||||||||||||
| | 1 | | 2 | z | 1 | | 3 | z | | 2 | | z | | 3 | | | | | | | | | | | | | | |||||||||||||
对应的直接型结构为：
x(n) | 2 | y(n) | ||||||||||||||||||
z-1 | z-1 | |||||||||||||||||||
-2.5 | 2 | |||||||||||||||||||
z-1 | z-1 | |||||||||||||||||||
-1.3 3 | ||||||||||||||||||||
| | | | 2 | | z | 1 | | 0 . 5 | z | 2 | | |
| 3 | |||||
| 1 | | 1 . 2 | z | 1 | | 1 . 35 | z | | 2 | | 0 . 5 | z | | ||||||
从而可得H(z)的流图结构如下图示：
x | (n | ) | 2 | y | (n | ) |
z-1
-1.2 -1
z-1
-1.35 | z-1 | 0.5 | |
-0.5 |
3、请用直接型及典范型结构实现以下转移函数：
（1） | H | ( | z | ) | | | 5 | | 2 | z | 1 | | 0 . 5 | z | 2 | | |||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | | 3 | z | 1 | | 3 | z | | 2 | | z | | 3 | | ||||||||||||||||||||||||||||||
（2） | H | ( | z | ) | | 0 . 8 | 3 | z | 3 | | 2 | z | 2 | | 2 | z | | 5 | |||||||||||||||||||||||||||
z | 3 | | 4 | z | 2 | | 3 | z | | 2 | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
（3） | H | ( | z | ) | | 8 | z | 2 | z | | 2 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | z | | ，依据教材给出的求解方法，可得 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
解：（1） | H | ( | z | ) | | | 5 | | 2 | z | 1 | | 0 . 5 | z | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
1 | | 3 | z | 1 | | 3 | z | | 2 | | z | | 3 | | |||||||||||||||||||||||||||||||
出答案如下：
直接型： x(n) -5 y(n)
z-1 z-1
2 -3
z-1 z-1
-3 2
z-1
-3 | -0.5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
-1 | z -1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（2）首先将H(z)改写为： | H | ( | z | ) | | 0 . 8 | 3 | z | 3 | | 2 | z | 2 | | 2 | z | | 5 | |||||||||||||||||||||||
z | 3 | | 4 | z | 2 | | 3 | z | | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
H | ( | z | ) | | 2 . 4 | | 1 . 6 | z | 1 | | 1 . 6 | z | 2 | | 4 | z | 3 | ||||||||||||||||||||||||
1 | | 4 | z | 1 | | 3 | z | | 2 | | 2 | z | | 3 | | ||||||||||||||||||||||||||
直接型： x(n) | 2.4 | y(n) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z -1 | z -1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z -1 | 1.6 | -4 | z -1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
典范型：x(n) | z -1 | 1.6 | 2.4 | -3 | z -1 |
4 | -2 | y(n) |
z-1
-4 1.6
z-1
-3 1.6
z-1
-2 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||
（3） | | | | | | | | | | | 2 | | | | 1 | z | 1 | | 1 | z | | 2 | |||||||
H | ( | z | ) | | | | | z | | | 8 | 4 | |||||||||||||||||
| | | | | 8 | z | 2 | | 2 | z | | 3 | | 1 | | 1 | z | 1 | | 3 | z | | 2 | ||||||
| | | | | | | | | | | | | | 4 | 8 | ||||||||||||||
直接型： | |||||||||||||||||||||||||||||
典范型：
x(n)y(n)
z-1
1/4 -1/8
z-1
3/8 1/4
4、对于下图所示的信号流图结构，请写出其对应的系统函数H(Z)和差分方
程，并将其实现为典范型结构。
X(z) | z-1 | K | b2 | z-1 | Y(z) |
|
b0 a0 | ||||||
z-1 |
| |||||
b1 |
解：
X(z) | H1(z) | z-1 | K | H2(z) | z-1 | Y(z) |
b0 | a0 | b2 |
z-1
b1
其中： | H | 1 | ( | z | ) | | 1 | | 1 | | a | 0 | z | 1 | z | | 2 | ||||||||||||||||||||||
| b 0 | z | 1 | | b 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
H | 2 | ( | z | ) | | 1 | | K | z | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||
b 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
系统函数： | H | ( | z | ) | | H | 1 | ( | z | ) | H | 2 | ( | z | ) | | 1 | | 1 | | a | 0 | z | 1 | |
| | | | | K | | 1 | ||||||
| | | | b 0 | z | 1 | | b 1 | z | | 2 | | 1 | | b 2 | z | |||||||||||||||||||||||
| 1 | | ( b 0 | | b 2 | ) | z | ||||||||||||||||||||||||||||||||
y ( n 差分方程为： | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
典范型结构：
X(z) | K | Y(z) |
z-1
b0+b2 Ka0
z-1
b1-b0b2
z-1
-b1b2