1986年全国高考数学文科

一、（本题满分30分）本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ ）

isin) （B）2(cosisin) 4444 （C）2(sinicos) （D）2(sinicos)

4444 （A）2(cos（2）函数y51的反函数是 （ ） （A）ylog5(x1) （B）ylogx51 （C）ylog5(x1) （D）ylog(x1)5

（3）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合

{2，7，8}是 （ ） （A）A∪B （B）A∩B （C）A∪B （D）A∩B （4）函数y （A）周期为

x2sin2xcos2x是 （ ）

的奇函数 （B）周期为的偶函数 22 （C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数

44（5）已知c<0，在下列不等式中成立的一个是 （ ） （A)c2 (B)c() (C)2() (D)2()

（6）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，

89，92，95，88它们的和是 （ ）

（A）1789 （B）1799 （C）1879 （D）1899 （7）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是( B )

2 （A）22a （B）2a （C）23a （D）32a

c12cc12cc12c222（8）如果方程x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（ ） （A）D=E （B）D=F （C）E=F （D）D=E=F

（9）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件

2222

（10）在下列各图中，y=ax+bx与y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是 （ ）

2

二．（本题满分24分）只要求直接写出结果.

(x（1）求方程252x0.5)45的解 （2）已知13i,求21的值 2（3）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及 （0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积 2n2n7（4）求lim. 2n5n4（5）求(2x315)展开式中的常数项 x2x2y25（6）求椭圆的双曲线方程 1有公共焦点，且离心率为

294三．（本题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC

四．（本题满分10分） 求满足方程|Z33i|

3的辐角主值最小的复数Z .

五．（本题满分12分）

2

已知抛物线y=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线

六．（本题满分10分）

甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式

七．（本题满分12分）

已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b. 求证：（1）当b≠时，tg3A=

2a. b22(2)(12cos2A)ab.

八．（本题满分12分）

已知数列{an},其中a1413,a2,且当n≥3时， 391anan1(an1an2).

3（1）求数列{an}的通项公式 （2）求liman.

n

参考答案及其解析

一、本题考查基本概念和基本运算. (1)B; (6)B;

(2)C; (7)B;

(3)D; (8)A;

(4)A; (9)D;

(5)C; (10)D.

二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.

x22(4) (5)40 (6)y21.

45三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.

证：设圆O所在平面为α，由已知条件，PA⊥平面α，又BC在平面α内，因此PA⊥BC因为∠BCA是直角，因此BC⊥AC而PA与AC是△PAC所在平

面内的相交直线，因此BC⊥△PAC所在平面，从而证得，△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直 四、解：满足方程|Z33i|3的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所

示的一个圆，其圆心A对应的复数为33i，半径为3，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是-3 从点O作圆的另一条切线OP，P为切点，则点P所对应的复数为所求

的复数 ∵33i23(cos150isin150),

设点B对应的复数为1，∴∠BOA=150，|OA|=23，∠QOA=180-∠

0

0

BOA=30

∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心，

00

∴∠AOP=∠QOA=30，∠QOP=2∠QOA=60，

∠BOP=180-∠QOP=120，|OP|=|OA|cos∠AOP=230

0

0

33. 2∴所求的复数Z=3(cos120isin120)3(

1333i)3i. 2222五、解：设点B的坐标（X,Y)，点P的坐标为（x,y)，则

113Y12X32Y122x,y1133112231X(x1),(1)Y(3y1),(2)22点P在抛物线上,Y2X1,X将(1),(2)代入此方程,得31(3y1)(x1)122化简得3y22y2x10,即x321yy,22

2因此轨迹为抛物线

六、本题考查排列组合等知识与分析问题的能力. 略解：共有：C8C5C4C21680（种）

（注：原解答要求分步说明，直接给出上式只给8分） 七、证：由已知sinA+sin3A+sin5A=a,利用和差化积公式得

2sin3Acos2A+sin3A=a,∴sin3A(1+2cos2A)=a,① 又由已知cosA+cos3A+cos5A=b，利用和差化积公式得 2cos3Acos2A+cos3A=b, ∴cos3A(1+2cos2A)=b,② 当b≠时，①÷②得

2

2

3122sin3Aaa,从而证得tg3A=.

cos3Abb又①+②得

222222sin3A(1+2cos2A)+cos3A(1+2cos2A)=a+b,

22222

∴(1+2cos2A)(sin3A+ cos3A)=a+b, ∴(12cos2A)ab.

222八、解：（1）设anan1xn1,则由已知条件得xn1公比为

1xn2,所以数列{an}组成了一个311的等比数列，其首项x1a2a1, 3911xn1x1()n2()n,(n2,3,4)331即anan1()n.3ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11()21()n11113311(1)n1,()2()3()n13336313ana111n1311n1()().63223

11333113(2)limanlim()nlim()n0.nn2232n2322