2019-2020年辽宁省沈阳市皇姑区八年级下学期期末数学试卷
一、选择题
1．剪纸是潍坊特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A．（5，1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，2）
D．（5，﹣3）
3．不等式组2x＞﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．C．
B．D．
4．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A．a2+4
B．a2+ab+b2
C．a2+4ab+b2
D．x2+2x+1
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三条边相等的四边形是菱形 D．三个角是直角的四边形是矩形 6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则（ ）
A．CD垂直平分AD C．CD平分∠ACB
B．AB垂直平分CD D．以上结论均不对
7．若分式A．x＝1
，则x的值是（ ）
B．x＝﹣1
C．x＝0
D．x≠﹣1
8．设四边形的内角和等于a，五边形的内角和等于b，则a与b的关系是（ ） A．a＞b
B．a＝b
C．a＝b+180°
D．b＝a+180°
9．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点．若OE＝1cm，则AD的长是（ ）cm．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若m2﹣n2＝6，且m﹣n＝2，则m+n＝ ． 12．若关于x的分式方程
＝的解为非负数，则a的取值范围是 ．
13．如图，已知一次函数y＝﹣x+2与y＝2x+m的图象相交于P（﹣1，3），则关于x的不等式﹣x+2＜2x+m的解集是 ．
14．平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B＝50°时，∠EAF的度数是 ．
15．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是 ．
AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6， 16．如图，在△ABC中，则△ABD的面积是 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17．解不等式：18．化简：（x﹣
＞x﹣1． ）÷
．
19．如图，在9×7的网格中，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，图中A、B、D、E均为格点，ABD为格点三角形．
（1）直接在网格中画▱ABCD，要求C点在格点上；
（2）直接在网格中将（1）中▱ABCD的边BC平移，使点B平移到点E的位置，得到线段EF，再以线段EF为一边，在线段EF右侧画出正方形EFGH； （3）直按填空：（2）中正方形EFGH的周长是 （长度单位）．
四、（每小题8分，共16分）
20．如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若CA＝CB，则▱ADCF为 （填矩形、菱形、正方形中的一个）．
21．某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前3个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月？ 五、（本题10分）
22．某水果超市计划购进A与B两种苹果．已知每箱A种苹果的进价为60元，如果一次购进A种苹果超过20箱，超出部分可以享受七折优惠；每箱B种苹果的进价为54元，没有优惠．设超市计划购进x（x＞0，且x为整数）箱苹果．
（1）若超市只购进A种苹果需要花费y元，求y与x之间的函数关系式；
（2）超市决定在A、B两种苹果中选购其中一种，且数量超过20箱，请你帮助超市选择购进哪种苹果更省钱． 六、（本题10分）
23．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）[（1+x）（1+x）] ＝（1+x）3
（l）上述分解因式的方法是 （填提公因式法或公式法中的一个）； （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝ ； 1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝ （直接填空）； （3）运用上述结论求值：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，其中x＝七、（本题12分）
﹣1．
24．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A的坐标为（0，6），点P在线段AB上，∠OAB＝∠AOP＝30°． （1）求点P的坐标；
（2）将△AOP绕点O顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），旋转中的三角形记为△A1OP1（点A、P的对应点分别A1、P1），在旋转过程中，直线OA1交直线AB于点M，直线OP1交直线AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，请直接写出α的值．
八、（本题12分）
25．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°． （1）①∠ACB＝ 度（直接填空）； ②求证：∠PBC＝∠PQD；
③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；
（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为 （直接填空）；
（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系．
参考答案
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．剪纸是潍坊特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；
D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C．
2．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A．（5，1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，2）
D．（5，﹣3）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 解：点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（2﹣3，﹣1+2），即（﹣1，1）， 故选：B．
3．不等式组2x＞﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．
B．
C． D．
【分析】求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 解：解不等式2x＞﹣2，得：x＞﹣1，在数轴上表示为：
故选：A．
4．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A．a2+4
B．a2+ab+b2
C．a2+4ab+b2
D．x2+2x+1
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 解：A、a2+4，无法分解因式，故此选项错误； B、a2+ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误； C、a2+4ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误； D、x2+2x+1＝（x+1）2，正确． 故选：D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三条边相等的四边形是菱形 D．三个角是直角的四边形是矩形
【分析】由矩形和菱形的判定方法得出选项A、B、C错误，选项D正确． 解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形， ∴选项A错误；
B、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形， ∴选项B错误；
C、∵四条边相等的四边形是菱形， ∴选项C错误；
D、∵三个角是直角的四边形是矩形， ∴选项D正确； 故选：D．
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则（ ）
A．CD垂直平分AD C．CD平分∠ACB
B．AB垂直平分CD D．以上结论均不对
【分析】先根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ABD，故可得出∠BAC＝∠BAD，再由AC＝AD即可得出结论． 解：在△ABC与△ABD中， ∵
，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠BAC＝∠BAD，即AB是∠CAD的平分线． ∵AC＝AD，
∴AB是CD的垂直平分线． 故选：B． 7．若分式A．x＝1
，则x的值是（ ）
B．x＝﹣1
C．x＝0
D．x≠﹣1
【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零． 解：依题意得，x﹣1＝0，且x+1≠0， 解得 x＝1． 故选：A．
8．设四边形的内角和等于a，五边形的内角和等于b，则a与b的关系是（ ） A．a＞b
B．a＝b
C．a＝b+180°
D．b＝a+180°
【分析】根据n边形的内角和公式（n﹣2）×180°即可得出结论． 解：根据题意可得：a＝（4﹣2）×180°，b＝（5﹣2）×180°， ∴b＝a+180°． 故选：D．
9．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点．若OE＝1cm，则AD的长是（ ）cm．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD＝2OE，继而求出答案． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO＝DO，
∵点E是AB的中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴AD＝2OE， ∵OE＝1cm， ∴AD＝2cm． 故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝AB＝4，再根据平移的性质得AD＝BE，AD∥BE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到AC•BE＝8，即4BE＝8，则可计算出BE＝2，所以平移距离等于2． 解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°， ∴AC＝AB＝4，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE，AD∥BE， ∴四边形ABED为平行四边形， ∵四边形ABED的面积等于8， ∴AC•BE＝8，即4BE＝8， ∴BE＝2， 即平移距离等于2． 故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若m2﹣n2＝6，且m﹣n＝2，则m+n＝ 3 ．
【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝（m+n）×2＝6， 故m+n＝3． 故答案为：3． 12．若关于x的分式方程
＝的解为非负数，则a的取值范围是 a≥1且a≠2 ．
＝的解为非负数，可以求得a的取值范围．
【分析】根据解分式方程的方法和方程解：
＝，
方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2， 去括号，得2x﹣2a＝x﹣2， 移项、合并同类项，得x＝2a﹣2， ∵关于x的分式方程∴
，
＝的解为非负数，x﹣2≠0，
解得a≥1且a≠2． 故答案为：a≥1且a≠2．
13．如图，已知一次函数y＝﹣x+2与y＝2x+m的图象相交于P（﹣1，3），则关于x的不等式﹣x+2＜2x+m的解集是 x＞﹣1 ．
【分析】从图象可以看出，﹣x+2＜2x+m时，x的取值范围即可求解． 解：从图象可以看出，当x＞﹣1时，﹣x+2＜2x+m， 故答案为：x＞﹣1．
14．平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B＝50°时，∠EAF的度数是 50° ．
【分析】先根据平行四边形的性质，求得∠C的度数，再根据四边形内角和，求得∠EAF的度数．
解：∵平行四边形ABCD中，∠B＝50°， ∴∠C＝130°，
又∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣130°＝50°， 故答案为：50°．
15．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是 18 ．
【分析】利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案． 解：∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6， ∴AB＝BC，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝3， ∴BC＝AB＝
＝5，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+5+8＝18． 故答案为：18
AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6， 16．如图，在△ABC中，则△ABD的面积是 15 ．
【分析】延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE＝AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E， ∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13， ∴CE2+AE2＝AC2， ∴∠E＝90°， ∴∠BAD＝90°， 即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD•AB＝15， 故答案为：15．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17．解不等式：
＞x﹣1．
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可． 解：
＞x﹣1，
1+2x＞3x﹣3， 2x﹣3x＞﹣3﹣1， ﹣x＞﹣4， x＜4． 18．化简：（x﹣
）÷
．
【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题． 解：（x﹣＝＝
＝x（x+1） ＝x2+x．
19．如图，在9×7的网格中，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，图中A、B、D、E均为格点，ABD为格点三角形．
（1）直接在网格中画▱ABCD，要求C点在格点上；
（2）直接在网格中将（1）中▱ABCD的边BC平移，使点B平移到点E的位置，得到线段EF，再以线段EF为一边，在线段EF右侧画出正方形EFGH； （3）直按填空：（2）中正方形EFGH的周长是 4
（长度单位）．
）÷
【分析】（1）把线段AB平移，使点A平移到D点，则B点的对应点为C点； （2）把C点向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到F点，然后把EF绕E点顺时针旋转90°得到EH，把EF绕F点逆时针旋转90°得到FG，则四边形EFGH为正方形；
（3）先利用勾股定理计算出EF，从而得到正方形EFGH的周长． 解：（1）如图，四边形ABCD为所作； （2）如图，线段EF、正方形EFGH为所作；
（3）EF＝＝，
．
所以正方形EFGH的周长＝4EF＝4故答案为4
．
四、（每小题8分，共16分）
20．如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若CA＝CB，则▱ADCF为 矩形 （填矩形、菱形、正方形中的一个）．
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法即可求出答案． （2）根据矩形的判定方法即可求出答案． 解：（1）在平行四边形BCFD中， DE∥BC，
∵E是DF的中点， ∴DE＝BC，
∴DE是△ABC的中位线， ∴E是AC的中点，
∴四边形ADCF是平行四边形．
（2）∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线， ∴AD＝AE， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∴AD＝AC，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°， ∴▱ADCF是矩形． 故答案为：矩形
21．某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前3个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月？
【分析】设原计划完成这一工程的时间为x个月，根据实际施工的工效＝（1+20%）×原计划的工效建立方程求出其解即可． 解：设原计划完成这一工程的时间为x个月， 由题意，得：（1+20%）
＝
，
解得：x＝18．
经检验，x＝18是原方程的解．
答：原计划完成这一工程的时间是18个月． 五、（本题10分）
22．某水果超市计划购进A与B两种苹果．已知每箱A种苹果的进价为60元，如果一次购进A种苹果超过20箱，超出部分可以享受七折优惠；每箱B种苹果的进价为54元，没有优惠．设超市计划购进x（x＞0，且x为整数）箱苹果．
（1）若超市只购进A种苹果需要花费y元，求y与x之间的函数关系式；
（2）超市决定在A、B两种苹果中选购其中一种，且数量超过20箱，请你帮助超市选择购进哪种苹果更省钱．
【分析】（1）根据题意，利用分类讨论的方法，可以写出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到超市选择购进哪种苹果更省钱．解：（1）当0＜x≤20且x为整数时，w＝60x，
当x＞20且x为整数时，y＝20×60+60（x﹣20）×0.7＝42x+360， 由上可得，y与x之间的函数关系式为y＝
（2）当54x＜42x+360时，得x＜30，即x＜30时，购进B种苹果更省钱， 当54x＝42x+360，即x＝30，即当x＝30时，购两种苹果花费一样多； 当54x＞42x+360，得x＞30，即当x＞30时，购买A种苹果更省钱． 六、（本题10分）
23．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）[（1+x）（1+x）] ＝（1+x）3
（l）上述分解因式的方法是 提公因式法 （填提公因式法或公式法中的一个）； （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝ （1+x）4 ； 1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝ （1+x）n+1 （直接填空）； （3）运用上述结论求值：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，其中x＝
；
﹣1．
【分析】（1）观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可； （2）根据题中的方法确定出所求即可；
（3）原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值． 解：（l）上述分解因式的方法是提公因式法；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝（1+x）4； 1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）n+1（直接填空）； （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3 ＝（1+x）4， 当x＝
﹣1时，原式＝（1+
﹣1）4＝（
）4＝36．
故答案为：（1）提公因式法；（2）（1+x）4；（1+x）n+1 七、（本题12分）
24．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A的坐标为（0，6），点P在线段AB上，∠OAB＝∠AOP＝30°． （1）求点P的坐标；
（2）将△AOP绕点O顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），旋转中的三角形记为△A1OP1（点A、P的对应点分别A1、P1），在旋转过程中，直线OA1交直线AB于点M，直线OP1交直线AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，请直接写出α的值．
【分析】（1）如图1，过P作PH⊥OB于H，根据三角形中位线定理得PH＝3，由含30度的直角三角形的性质得OB的长，从而得OH的长，即可解决问题； （2）分三种情形画出图形即可解决问题． 解：（1）如图1，过P作PH⊥OB于H．
∵点A的坐标为（0，6）， ∴OA＝6，
∵∠OAB＝∠AOP＝30°，
∴∠ABO＝∠BPO＝60°，AP＝OP， ∴△OBP是等边三角形， ∴AP＝OP＝BP， ∵PH∥OA， ∴OH＝BH， ∴PH＝OA＝3，
Rt△AOB中，∵∠BAO＝30°， ∴OB＝2∴OH＝∴P（
（2）如图2，当OM＝ON时， ∴∠OMN＝∠ONM，
， ， ，3）；
由旋转得：∠A1OP1＝∠AOP＝30°， ∴∠OMN＝75°， ∵∠BAO＝30°，
∴α＝∠OMN﹣∠BAO＝75°﹣30°＝45°； 如图3，当OM＝MN时，α＝90°；
如图4，当OM＝ON时，∠AOP＝∠A1OP1＝90°，
∵∠AOA1＝∠POP1＝α，
∴∠AON＝180°﹣α﹣30°＝150°﹣α，
∵OM＝ON，
∴∠N＝∠M＝60°﹣（α﹣90°）＝150°﹣α， ∵∠OAP＝∠N+∠AON， ∴30°＝2（150°﹣α）， ∴α＝135°，
综上，当△OMN为等腰三角形时，α的值是45°或90°或135°． 八、（本题12分）
25．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°． （1）①∠ACB＝ 45 度（直接填空）； ②求证：∠PBC＝∠PQD；
③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；
（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为 9 （直接填空）；
（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系．
【分析】（1）①由正方形的性质可得∠ACB＝∠ACD＝45°；
②由四边形内角和定理可求∠PBC+∠PQC＝180°，由平角的性质可得∠PQC+∠PQD＝180°，可得结论；
③过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由“ASA”可证△PEB≌△PFQ，可得PB＝PQ；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF，可得CE＝CF＝3，可得S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9；
（3）将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，连接HP，可得AH＝EC，BH＝
BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH，可得∠PAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝ 45°＝∠PBH，由“SAS”可证△PBH≌△PBE，可得PE＝PH，由勾股定理可得结论．解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°， 故答案为：45；
②∵∠BPQ+∠PBC+∠BCD+∠PQC＝360°， ∴∠PBC+∠PQC＝180°， 又∵∠PQC+∠PQD＝180°， ∴∠PBC＝∠PQD； ③PB＝PQ，
理由如下：如图①中，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝∠ACB，
又∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F， ∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°， ∴四边形PECF是矩形， 又∵PE＝PF，
∴四边形PECF是正方形， ∴∠EPF＝∠BPQ＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF，
又∵∠PEB＝∠PFQ＝90°，PE＝PF， ∴△PEB≌△PFQ（ASA），
∴PB＝PQ；
（2）如图1中，由（1）可知△BPE≌△PQF，四边形PECF是正方形， ∴BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF， ∵BC+CQ＝6，
∴EC+FC＝BC+CQ＝6， ∴CE＝CF＝3， 又∵S△BPE＝S△PQF，
∴S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9， 故答案为：9； （3）PE2＝AP2+EC2． 理由如下： ∵BP＝PQ，
∴∠PBQ＝∠PQB＝45°， ∴∠ABP+∠CBE＝45°，
如图2，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，连接HP，
∴△BEC≌△BHA，
∴AH＝EC，BH＝BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH， ∴∠PAH＝∠PAB+∠BAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝45°＝∠PBH， 又∵BP＝BP，BH＝BE， ∴△PBH≌△PBE（SAS）， ∴PE＝PH， ∵PH2＝AP2+AH2， ∴PE2＝AP2+EC2．
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