识点分类
一．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
1．（2021•通辽）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 ．二．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
2．（2021•通辽）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 三．一元一次不等式组的整数解（共1小题）3．（2021•通辽）若关于x的不等式组是
．
，有且只有2个整数解，则a的取值范围
．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
4．（2021•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 含有正整数n的式子表示）
．（用
五．平行线的性质（共2小题）
5．（2023•通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝ 度．第1页（共18页）
6．（2021•通辽）一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 ．六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 s．
七．勾股定理（共1小题）
8．（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为
．
八．菱形的性质（共1小题）
9．（2022•通辽）菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为 ．九．扇形面积的计算（共1小题）
10．（2021•通辽）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2
，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB
＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是
．
第2页（共18页）
一十．作图—基本作图（共1小题）
11．（2022•通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数 °．一十一．轨迹（共1小题）
12．（2022•通辽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB＝2
，BC＝3，点P
从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP＝∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为
．
一十二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
13．（2023•通辽）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组为
．
第3页（共18页）
，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标
一十三．解直角三角形（共1小题）
14．（2022•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝
．
一十四．由三视图判断几何体（共1小题）
15．（2023•通辽）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与
所在圆相
切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为 cm2．
一十五．众数（共1小题）
16．（2023•通辽）已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是 ．一十六．列表法与树状图法（共1小题）
17．（2021•通辽）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3
中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是
．
第4页（共18页）
内蒙古通辽2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知
识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
1．（2021•通辽）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 1.2×10﹣7 ．【答案】1.2×10﹣7．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．故答案为：1.2×10﹣7．
二．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
2．（2021•通辽）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为
．
【答案】．
【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，依题意得：
．
故答案为：．
三．一元一次不等式组的整数解（共1小题）3．（2021•通辽）若关于x的不等式组是 ﹣1＜a≤1 ．【答案】﹣1＜a≤1．
【解答】解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式2x﹣a＜5，得：x＜
，
第5页（共18页）
，有且只有2个整数解，则a的取值范围
∵不等式组只有2个整数解，∴2＜
≤3，
解得﹣1＜a≤1，故答案为：﹣1＜a≤1．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
4．（2021•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 （+） ．（用含有正整数n的式子表示）
+
，﹣
【答案】（+，﹣+）．
【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，易知M1（1，0）是OA1的中点，∴A1（2，0）．
可得B1的坐标为（1，1），∴B1O的解析式为：y＝x，∵B1O∥A1B2，
∴A1B2的表达式一次项系数与B1O的一次项系数相等，将A1（2，0）代入y＝x+b，∴b＝﹣2，
∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，与y＝（x＞0）联立，解得B2（1+仿上，A2（2B3（
+
，0）．，﹣
+
），
，﹣1+
）．
第6页（共18页）
以此类推，点Bn的坐标为（故答案为（
+
，﹣
+
+，﹣）．
+），
五．平行线的性质（共2小题）
5．（2023•通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝ 105 度．【答案】105．
【解答】解：∵AB∥DE，∴∠BDE＝∠B＝30°．
∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故答案为：105．
6．（2021•通辽）一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 75° ．【答案】75°．
【解答】解：如图，∠A＝45°，∠C＝30°，
第7页（共18页）
∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝30°，
∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，故答案为：75°．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 1 s．
【答案】1．
【解答】解：设点P需移动t秒，点D落在BC边上，如图所示．∵三角形PQD是等边三角形，∴∠DPQ＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，∴△BDP≌△APQ（ASA）．
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t，∵∠BPD＝30°，
第8页（共18页）
∴BD＝BP，即2t＝（6﹣2t），∴t＝1．故答案为：1．
七．勾股定理（共1小题）
8．（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 ，9或3 ．【答案】，9或3．
【解答】解：当∠A＝30°时，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CPA＝90°，
在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3
＝
．，
第9页（共18页）
∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，
∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CPA＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CPA，∴BP＝BC＝3，
∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．
②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP
这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．
第10页（共18页）
，
综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．八．菱形的性质（共1小题）
9．（2022•通辽）菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为 5 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝故答案为：5
九．扇形面积的计算（共1小题）
10．（2021•通辽）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2
，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB
﹣
＝5
＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是
．
【答案】﹣．
【解答】解：连接OA、OB、OM，如图，
第11页（共18页）
∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵AM＝BM＝AB＝∴OM⊥AB，∴tan30°＝∴OM＝
×，＝1，
，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC，∴△MBN∽△ABC，∴
＝（
）2＝，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，∴△ABC的面积最大值为：×∴△MBN的面积最大值为：∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝∴此时，S阴影＝故答案为：
﹣
﹣．
第12页（共18页）
×（2+1）＝3，
﹣
＝
﹣
，
，
＝﹣，
+
一十．作图—基本作图（共1小题）
11．（2022•通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数 60 °．【答案】60．
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB＝60°．
由作法可知，BF是∠ABD的平分线，∴∠EBF＝∠ABD＝30°．
由作法可知，EF是线段BD的垂直平分线，∴∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝90°﹣30°＝60°，∴∠α＝60°．故答案为：60．
第13页（共18页）
一十一．轨迹（共1小题）
12．（2022•通辽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB＝2
，BC＝3，点P
从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP＝∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为
π ．
【答案】π．
【解答】解：如图，取AB的中点J，
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠BAP＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，
第14页（共18页）
∴点P在以AB为直径的⊙J上运动，当J，P，C共线时，PC的值最小，在Rt△CBJ中，BJ＝∴tan∠CJB＝
＝
，BC＝3，，
∴∠BJC＝60°，
∴当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长＝故答案为：
π．
＝
π．
一十二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
13．（2023•通辽）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组5，﹣4） ．【答案】（﹣5，﹣4）．【解答】解：3x+7＝32﹣2x，移项，合并同类项得：5x＝25，系数化为1得：x＝5；
，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 （﹣
①+②得：a+b＝﹣4；则Q（5，﹣4），
那么点Q关于y轴对称点Q'的坐标为（﹣5，﹣4），故答案为：（﹣5，﹣4）．一十三．解直角三角形（共1小题）
14．（2022•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝
﹣1 ．
【答案】﹣1．
第15页（共18页）
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，
设AB＝a，则AE＝a，BE＝∴AD＝AE+DE＝（
+1）a，
＝
＝
﹣1，
＝
a＝ED，
在Rt△ABD中，tan∠BDE＝故答案为：
﹣1．
一十四．由三视图判断几何体（共1小题）
15．（2023•通辽）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与
所在圆相
切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为 （100+） cm2．
【答案】（100+）．
【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，且△PAB为等边三角形，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣120°＝240°，AB＝∴扇形AMB的面积是：
（cm2），S△AOB＝∴主视图的面积＝
×102＝25+75
+25
＝
OA＝10
（cm），
）2＝75
（cm2），S△PAB＝
×（10
（cm2），＝（100
+
）（cm2），
第16页（共18页）
故答案为：（100+）．
一十五．众数（共1小题）
16．（2023•通辽）已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是 5 ．【答案】5．
【解答】解：在数据3，4，5，5，6中，5出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数为5．故答案为：5．
一十六．列表法与树状图法（共1小题）
17．（2021•通辽）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3
中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
第17页（共18页）
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，故答案为：．
第18页（共18页）
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