（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．设命题p：∀x＞0，均有2x＞1，则￢p为（ ） A．∀x＞0，均有2x≤1 C．∀x＜0，均有2x≤1
2．直线4x﹣2y+5＝0的斜率是（ ） A．2
3．已知双曲线C：
B．﹣2 ﹣
C．5
D．﹣5
B．∃x0＞0，使得D．∃x0＞0，使得
＞1
＝1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为所示，则其左视图的面积是（ ）
．其三视图中的俯视图如图
A． B． C．8cm2 D．4cm2
5．点P（x，y）满足A．椭圆
B．双曲线
，则点P的轨迹是（ ）
C．线段
D．射线
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
7．过直线y＝2x+3上的点作圆x2+y2﹣4x+6y+12＝0的切线，则切线长的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与C交于点
A、B两点 （点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D，若|AF|＝8，则|BF|＝（ ）
A．3 B． C．4 D．8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以下结论正确的是（ ）
A．异面直线A1D与AB1所成的角为60° B．直线A1D与BC1垂直 C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（ ） A．若m＞0，n＞0，则C是椭圆 B．若mn＜0，则C是双曲线
C．若m＝0，n＞0，则C是两条直线 D．若m＝n，则C是圆 11．下列说法正确的是（ ）
A．若命题p：3≥2，q：2≥2，则p∧q为真 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C．“a≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要条件
D．命题“若a＝1，则直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+2＝0平行”的否命题是真命题 12．已知椭圆
的右焦点F和坐标原点O是某正方形的两个顶点，
若该正方形至少有一个顶点在椭圆C上，则椭圆C的离心率不可能为（ ） A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4＝0垂直的直线方程为 ．
14．抛物线y＝x2的焦点坐标是 ．
15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，则四面体P﹣A1BC的体积的最大值是 ；记所有满足
的点P组成的平面区域为W，则W的面积是 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动．同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为 秒（精确到0.1）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 17．已知向量（1）（2）
； ．
，
，
．求：
18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
19．已知双曲线C与椭圆（1）求C的标准方程；
有公共焦点，且它的一条渐近线为．
（2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求|AB|． 20．已知椭圆的两点，|AF|+|BF|＝8． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设Q（3，0），若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围．
21．如图，三棱锥V﹣ABC中，VA⊥BC，VB⊥AC，点P为△VAB的重心，过点P作平面α，使得VC∥α且AB∥α． （1）求证：VC⊥AB；
（2）若VC＝AB＝3，求平面α截此三棱锥所得截面的面积．
的离心率为
，F是其右焦点，直线y＝kx与椭圆交于A，B
22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点．
（Ⅰ）若F（2，0），直线l的斜率为2，求△OMN的面积；
（Ⅱ）设点P是线段MN的中点（点P与点F不重合，点Q（x0，0）是线段MN的垂直平分线与x轴的交点，若给定p值，请探究：
是否为定值，若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．设命题p：∀x＞0，均有2x＞1，则￢p为（ ） A．∀x＞0，均有2x≤1 C．∀x＜0，均有2x≤1
B．∃x0＞0，使得D．∃x0＞0，使得
＞1
解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题p：∀x＞0，均有2x＞1，则￢p为：∃x0＞0，使得故选：D．
2．直线4x﹣2y+5＝0的斜率是（ ） A．2
B．﹣2
＝2，
C．5
D．﹣5 ．
解：直线4x﹣2y+5＝0的斜率是故选：A． 3．已知双曲线C：
﹣
＝1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线C：﹣＝1经过点（4，3），
可得，解得b2＝3，
双曲线C：﹣＝1，可得a＝2，c＝，
e＝．
故选：C．
4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为
．其三视图中的俯视图如图
所示，则其左视图的面积是（ ）
A． B． C．8cm2 D．4cm2
解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a， 则体积V＝Sh＝6×故左视图是长方形，长为面积为故选：A． 5．点P（x，y）满足A．椭圆 解：如图所示： 因为
表示（x，y）到O（0，0）的距离，
表示（x，y）到A
B．双曲线
，则点P的轨迹是（ ）
C．线段
D．射线
×2＝
＝，宽为2，
，解得a＝2，
（3，﹣4）的距离，
所以方程表示点（x，y）到O，A两点距离之和为5， 因为OA＝
＝5，
所以点P在线段OA上， 故选：C．
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误； 若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；
若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误； 若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误； 故选：B．
7．过直线y＝2x+3上的点作圆x2+y2﹣4x+6y+12＝0的切线，则切线长的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
解：化圆x2+y2﹣4x+6y+12＝0为（x﹣2）2+（y+3）2＝1， 要使切线长最小，需直线y＝2x+3上的点和圆心之间的距离最短， 此最小值即为圆心（2，﹣3）到直线y＝2x+3的距离d， d＝
故切线长的最小值为故选：A．
8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F且斜率为
的直线l与C交于点
，
，
A、B两点 （点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D，若|AF|＝8，则|BF|＝（ ）A．3
B．
C．4
），
D．8
解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（则直线l的方程为
，
联立方程组，可得12x2﹣20px+3p2＝0，
解得
因为|AF|＝8， 则所以|BF|＝故选：B．
，
，解得p＝4，
．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以下结论正确的是（ ）
A．异面直线A1D与AB1所成的角为60° B．直线A1D与BC1垂直 C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为
解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A1（1，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），B1（1，1，1）， C1（0，1，1），B（1，1，0），D1（0，0，1）．
＝（﹣1，0，﹣1），
＝（0，1，1），
，
．
∵cos＜＞＝＝，
∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°，故A正确； ∵
＝（﹣1，0，﹣1）•（﹣1，0，1）＝1﹣1＝0，
∴直线A1D与BC1垂直，故B正确； ∵
＝（﹣1，0，﹣1）•（﹣1，﹣1，1）＝1﹣1＝0，
∴直线A1D与BD1垂直，不平行，故C错误； 三棱锥
A﹣A1CD
，
故D正确． 故选：ABD．
的体积
＝
＝
＝
10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（ ） A．若m＞0，n＞0，则C是椭圆 B．若mn＜0，则C是双曲线
C．若m＝0，n＞0，则C是两条直线 D．若m＝n，则C是圆
解：（1）根据椭圆的定义可知，焦点在x轴上的椭圆标准方程为
（a＞b＞0）；
焦点在y轴上的椭圆标准方程为（a＞b＞0）；
所以当m＞0，n＞0时，将mx2+ny2＝1，变形可得，
当m＜n时，该式表示焦点在x轴上的椭圆，当m＞n时，该式表示焦点在y轴上的椭圆；但当m＝n＞0时，该式变形可得一个圆，故A，D错误；
，则该式表示以原点为圆心，半径为
的
（2）根据双曲线的定义可知，焦点在x轴上的双曲线标准方程为（a＞0，b
＞0）；焦点在y轴上的双曲线标准方程为（a＞0，b＞0）；
所以当mn＜0时，将mx2+ny2＝1，变形可得，
当m＞0，n＜0时，该式表示焦点在x轴上的双曲线，当m＜0，n＞0时，该式表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；
（3）当m＝0，n＞0时，mx2+ny2＝1即变形为ny2＝1，即得曲线C的方程为所以此时该式表示两条直线．故C正确． 故选：BC．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若命题p：3≥2，q：2≥2，则p∧q为真 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C．“a≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要条件
D．命题“若a＝1，则直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+2＝0平行”的否命题是真命题 解：对于A，命题P，Q都为真，则p∧q为真，故A正确，
对于B，两个底面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台，故B错误， 对于C，∵a≠0， ∴a2≠0， ∴a2+b2≠0，
故a≠0是“a2+b2≠0”的充分条件，
令a＝0，b＝1，符合a2+b2≠0，故a≠0是“a2+b2≠0”的非必要条件，故C正确， 对于D，“若a＝1，则直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+2＝0平行”的否命题为， 若a≠1，则直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+2＝0不平行，
该命题的逆否命题为直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+2＝0平行，则a＝1，
当直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+2＝0平行，则a＝±1，故该命题为假命题，故D错误．故选：AC．
，
12．已知椭圆的右焦点F和坐标原点O是某正方形的两个顶点，
若该正方形至少有一个顶点在椭圆C上，则椭圆C的离心率不可能为（ ） A．【解答】
解：如图所示，椭圆C有C1，C2，C3三种情况． 不妨设点F（2，0），则
①对于C1，点（2，2）在椭圆上，则所以因为
，则
，B项符合．
，所以
，解得，D项符合．
，
项符合，
，
，解得
，由题知a2＞4，
B．
C．
D．
②对于C2，点（0，2）在椭圆上，③对于C3，点（1，1）在椭圆上，则因为a2＞4，所以故选：A．
，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4＝0垂直的直线方程为 3x﹣2y+2＝0 ． 解：∵直线2x+3y﹣4＝0的斜率k＝﹣， ∴与直线2x+3y﹣4＝0垂直的直线的斜率为．
则点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4＝0垂直的直线方程为y﹣1＝×（x﹣0）， 整理得：3x﹣2y+2＝0． 故答案为：3x﹣2y+2＝0．
14．抛物线y＝x2的焦点坐标是 解：∵抛物线y＝x2，即 x2＝y， ∴p＝，＝， ∴焦点坐标是 （0，）， 故答案为：（0，）．
．
15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，则四面体P﹣A1BC的体积的最大值是 成的平面区域为W，则W的面积是
；记所有满足 ．
的点P组
解：①要使四面体P﹣A1BC的体积取得最大值，则点P在线段AD或B1C1上，设点A到平面A1BC的距离为d，
四面体P﹣A1BC的体积的最大值＝×
×d＝××2×2
为半径的圆弧
×，
＝． ．
②在平面ABCD内，分别取以点A为圆心，以1，则所有满足
的点P组成的平面区域W为两圆弧 ，之间的所有点．
∴W的面积S＝﹣＝．
故答案为：，．
16．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、
Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动．同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为 4.4 秒（精确到0.1）
解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 可设P（﹣10，﹣10+1.5t），Q（10，10﹣t）， 可得直线PQ的方程为y﹣10+t＝圆O的方程为x2+y2＝1， 由直线PQ与圆O有交点，可得
（x﹣10），
≤1，
化为3t2+16t﹣128≤0， 解得0≤t≤
，
即有点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒． 故答案为：4.4．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
17．已知向量（1）（2）解：（1）由所以（2）因为所以
； ．
，，．求：
，
．
，
，
．
18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【解答】证明：（1）E，F分别是AC，B1C的中点． 所以EF∥AB1，因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1；
（2）因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以B1C⊥AB，
又因为AB⊥AC，AC∩B1C＝C，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C， 所以AB⊥平面AB1C， 因为AB⊂平面ABB1， 所以平面AB1C⊥平面ABB1． 19．已知双曲线C与椭圆
有公共焦点，且它的一条渐近线为
．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求|AB|． 解：（1）设C的方程为
，即
，
因为椭圆的焦点坐标为（±5，0），
依题意9λ+16λ＝25，解得λ＝1， 所以C的标准方程为：
．
（2）由方程
又直线l的斜率为2，
得C的右顶点为（3，0），不妨设A（3，0），B（x0，y0），
所以直线l的方程为y＝2（x﹣3），
由，得16x2﹣9×4（x﹣3）2＝16×9，，
整理得5x2﹣54x+117＝0，解得故
．
，
20．已知椭圆的两点，|AF|+|BF|＝8．
的离心率为，F是其右焦点，直线y＝kx与椭圆交于A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设Q（3，0），若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围．
解：（1）设F'为椭圆的左焦点，连接F'B，由椭圆的对称性可知，|AF|＝|F'B|， 所以|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|＝2a＝8，所以a＝4， 又e＝＝
，a2＝b2+c2，解得b＝2，
所以椭圆的标准方程为：．
＝（x﹣3，y），
＝（x'﹣3，y'），
（2）设点A（x，y），B（x'，y'），则
联立直线与椭圆的方程整理得：（1+4k2）x2﹣16＝0， 所以x+x'＝0，xx'＝
，yy'＝k2xx'＝
，
因为∠AQB为锐角，所以，
所以＝（x﹣3）（x'﹣3）+yy'＝xx'﹣3（x+x'）+9+yy'＝9﹣＞0，整理
得：20k2＞7， 解得：k
，或k
．
或k
}．
所以实数k的取值范围为：{k|k
21．如图，三棱锥V﹣ABC中，VA⊥BC，VB⊥AC，点P为△VAB的重心，过点P作平面α，使得VC∥α且AB∥α． （1）求证：VC⊥AB；
（2）若VC＝AB＝3，求平面α截此三棱锥所得截面的面积．
【解答】（1）证明：过V作VO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC， ∵VO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴VO⊥BC，
又∵VA⊥BC，VO∩VA＝V，VO，VA⊂平面VOA， ∴BC⊥平面VOA，
∵OA⊂平面VOA，∴BC⊥OA， 同理可得AC⊥OB，
∴O为△ABC的垂心，则AB⊥OC，
又∵VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴VO⊥AB， ∵VO∩OC＝O，VO⊂平面VOC，OC⊂平面VOC， ∴AB⊥平面VOC，
∵VC⊂平面VOC，∴AB⊥VC；
（2）设平面α与棱VA，VB，BC，AC的交点分别为E，F，G，H， ∵VC∥α，VC⊂平面VAC，α∩平面VAC＝EH， ∴VC∥EH，
同理VC∥FG，∴EH∥FG， 同理由AB∥α，可得EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又由（1）得VC⊥AB，∴EH⊥HG， ∴四边形EFGH是矩形．
∵P为△VAB的重心，∴∵VC＝AB＝3， ∴
，
，
，
∴矩形EFGH的面积为2×1＝2， 即平面α截此三棱锥所得截面的面积为2．
22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点．
（Ⅰ）若F（2，0），直线l的斜率为2，求△OMN的面积；
（Ⅱ）设点P是线段MN的中点（点P与点F不重合，点Q（x0，0）是线段MN的垂直平分线与x轴的交点，若给定p值，请探究：
是否为定值，若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意得，直线l：y＝2x﹣4，抛物线C：y2＝8x． 联立
，整理得y2﹣4y﹣16＝0，△＝80＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣16， ∴
（Ⅱ）由题意得，设直线l的方程为
．
，易知直线l的斜率存在且不为0，
，
联立，整理得y2﹣2pty﹣p2＝0，△＝4p2t2+4p2＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝2pt， ∴
∴直线PQ的方程为令y＝0，得∴|PQ|2＝p2+p2t2，∴
，即
为定值，定值为p． ，∴
，∴
．
， ，
，
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