镇江市丹阳高级中学2009届高三第一次摸底考试(数学)

江苏省丹阳高级中学高三第一次摸底考试

数学试卷 2009-3-8 必做题部分（满分160分)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 1、若A{xZ|228},B{xR|logx2x1}，则AB=__________。

2、设p:|4x3|1;q:(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_______________。

3、已知复数z11i，z21iz2z1,那么

=______________。

24、若角的终边落在射线yx(x0)上，则

12sin1sin21coscos*=____________。

1an25、在数列{an}中，若a11，a2，

2an11an(nN)，则该数列的通项

为 。

6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表

（单位: 环）

甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9 如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 。

7、在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 。 8、已知对称中心为原点的双曲线xy2212与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为

倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。 9、阅读下列程序: Read S1

For I from 1 to 5 step 2 SS+I Print S End for End

输出的结果是 。

10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 。 ①若coscos,则2k,kZ；②函数y2cos(2x3)的图象关于x=

12归海木心 QQ：634102564

归海木心 QQ：634102564

对称；③函数ycos(sinx)(xR)为偶函数，④函数ysin|x|是周期函数，且周期为2 。

11、若函数ymx22x5在2,)上是增函数，则m的取值范围是____________。

212、设a,bR,a2b6，则

ba3的最大值是_________________。

13、棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,若E、G分别为C1D1、BB1的中点,F是正方 形ADD1A1的中心,则空间四边形BGEF在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 。

14、已知平面上的向量PA、PB满足PA2PB24,AB2，设向量PC2PAPB，

则PC的最小值是 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤。

15、设函数f(x)mn,其中向量m(2cosx,1),n(cosx,3sin2x),xR， (1)求f(x)的最小正周期；

a,b,c分别是角A,B,C的对边，f(A)2,a(2)在ABC中，

3,bc3(bc)求b,c的值。

16、已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩 形，且AA13 ，设D为AA1的中点。 (1)作出该几何体的直观图并求其体积； (2)求证：平面BB1C1C平面BDC1；

(3)BC边上是否存在点P，使AP//平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。

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17、某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与e(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；

(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。

18、已知椭圆C1:xa22xyb221(ab0)的离心率为

33，直线l:yx2与以原点为

圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切。 (1)求椭圆C1的方程；

(2)设椭圆C1 的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

(3)设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QRRS0，求|QS|的取值范围。

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19、已知数列an中，a11,且点Pan,an1nN在直线xy10上。 (1)求数列an的通项公式; (2)若函数f(n)值； (3)设bn1an,Sn表示数列bn的前n项和。试问：是否存在关于n的整式gn，使得

1na11na21na31nannN,且n2,求函数f(n)的最小

S1S2S3Sn1Sn1gn对于一切不小于

2的自然数n恒成立？ 若存在，写

出gn的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

20、已知fxaxlnx,x(e,0),g(x)(1)讨论a1时, f(x)的单调性、极值； (2)求证：在（1）的条件下，|f(x)|g(x)12ln(x)x，其中e是自然常数，aR.

；

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(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。

必做题答案

一、填空题：

1、{3} 2、[0,] 3、i 4、0 5、an27811n 6、甲

147、 8、

x22y21 9、2，5，10 10、1，2，4 11、0m

12、1 13、二、解答题： 15

(1)f(x)2cos3分

212 14、2

、

x3sin2x2sin(2x解

6：

)1-------------------------------

T--------------------------------------------------------------

------------------------6分 (2)f(A)2A3---------------------------------------------------------

-----------------------9分 余

弦

定

理

cosAb2c2a22bc可得

bc2-----------------------------------------------------12分

又∵bc3,bc ∴

b2,c1--------------------------------------------------------------------

-----------------------14分

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16、

17、解（1）设日销售量为

kex,则10eexke404010,k10e4040,则日售量为10eex40件.-------2分

则日利润L(x)(x30a)（2）L(x)10e'4010ex30aex----------------------------4分

31axex-------------------------------------------------7分

'①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 ∴当x=35时，L（x）取最大值为10(5a)e-----------------------------------10分 ②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，令L(x)0,得xa31, 易知当x=a+31时，L（x）取最大值为10e5'59a-----------------------------------13分

综合上得L(x)max10(5a)e,(2a4)---------- ------------------------15分 9a,(4a5)10e18、解：(1)由e33得2a3b，又由直线l:yx2与圆xyb相切，得

2222222b2，a3，∴椭圆

C1的方程为：

x3y21。

---------------------------------4分

(2)由MPMF2得动点M的轨迹是以l1:x1为准线，F2为焦点的抛物线，∴点M的轨

迹

C2的方程为y24x。

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-----------------------------------------------------------------------8分 (3)Q(0,0)，设R(y142,y1),S(y242,y2)，

∴QR(y142,y1),RS(y2y142222,y2y1)，

由QRRS0，得

y1(y2y1)162y1(y2y1)0，∵y1y2

∴化简得

y2y116y1，

---------------------------------------------------------------------10分 ∴y2y122256y123222563264(当且仅当y14时等号成立)，

∵|QS|(y242)y22214(y28)64，

22又∵y264，∴当y264，即y28时|QS|min85， ∴

|QS|22的取值范围是

[85,)-----------------------------------------------------------15分

19、解：（1）由点P(an,an1)在直线xy10上， 即

an1an1，

------------------------------------------------------------------------2分 且a11，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列

an1(n1)1n(n2)，a11同样满足，所以ann---------------4分 （2）f(n)1n11n21n21n312n112n1n412n2

12n11n112n21712 f(n1)---------------------6分

11n10

f(n1)f(n)2n22n2 所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)分

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-----------------------10

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（3）bn nSn1n，可得Sn112131n，SnSn11n(n2)-------12分

(n1)Sn1Sn11，

(n1)Sn1(n2)Sn2Sn21

……

S2S1S11 nSnS1S1S2S3Sn1n1

nS1S2S3Sn1nSnn(Sn1)，n≥2------------------14分

g(n)n

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立----16分 20、解（1）fxxlnx f'x11xx1x------------2分

当ex1时，f'x0，此时fx为单调递减

当1x0时，f'x0，此时fx为单调递增

fx的极小值为f11-----------------------------------------4

分

（2）fx的极小值，即fx在e,0的最小值为1

fxmin1 令hxgx12lnxx12

又h'x分

lnx1x2 --------------------------------------------6

当ex0时h'x0

hx在e,0上单调递减 hxmaxhe1e1212121fxmin ---------------7分 12当xe,0时，fxgx------------------------------8分

（3）假设存在实数a，使fxaxlnx有最小值3，xe,0

f'xa1x

1x0

①当a1e时，由于xe,0，则f'xa函数fxaxlnx是e,0上的增函数 fxminfeae13

解得a②当a1e4e1e（舍去） ---------------------------------12分

1a时，则当ex时，f'xa1x0

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此时fxaxlnx是减函数 当

1ax0时，f'xa1x0，此时fxaxlnx是增函数

11fxminf1ln3

aa解得ae

2-----------------------------------------------------------------16分

附加卷答案 选做1：BC233 选做2：

y28x2221 选做3：弦长为46

选做4：

1111()22ab21111()22ac21111()22cb21ab1ac1cb1ab1ac1cbab2ac2cb





三式相加得证。 必做1：(1)略，(2)

2316265265

必做2：(1)

4120,P(3)16120,P(4)36120,P(5)64120(2)P(2)E()133;

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