高数下(第五版)期末复习试题及答案

第八章典型习题

一、填空题、选择题 1、z1xy的定义域为 ； z11x21y12的定义域为 ；

zlnxy的定义域为 ； zln1x4xy22y2的定义域为 ；

答案：x,yxy0；x,yy21,1x1；

x,yxy0；x,y4xy,0x22y21

1y2、limx0y0xyxy11；lim1xy；lim1xy lim1xy limx0y0x0y2x0y21xy1xtanxy； x0xy2 答案：limx0y0xyxy111xlimx0y0xyxy11xy111yxyxy11limx0y0xy112

 lim1xylim1xyx0y2x0y2e2

limtanxytanxytanxylimylimlimy2 x0x0x0x0xyxyxy2y2y2y21z111z3、设zlnxy，= ； 答案： lnxy2y x2xyx2xlnxyzzyyyyyyy 设zxf， = ； 答案：fxf2ff

xxxxxxxxx设zxy，

yzz= ； 答案：yxy1

xx设z1xy， 设z3xy，

zxx1y2= ；答案：

zxx1y2y1xyy1yx16

y2zz= ； 答案：y3xyln3

xx设zfx2y2，fu是可微函数，其中ux2y2，求

zfx2y22y2yfx2y2 yz； y 答案：

4、设z

xy，求dz； xy1

xyxy2y2x2 解：dzdxdydxdyxdyydx 222xyxyxyxyxyxy设zlnx2y2，求dz；解：dz2x2ydxdy x2y2x2y2设zxyx1x，求dz； 解：dzydxx2dy yyy设zexsiny，求dz； 解：dzexsinydxexcosydy

x设zarctan，求dz；

yxy21y2ydxxdy解：dz2 dxdy22222222yxyxyyyxxyyy11y设ze，求dz；解：dze2dxexdy2exxdyydx

xxxyxyx5、设方程x2y210确定了函数yyx，求

dy； dx0,10

0,1解：设Fx,yx2y21， 则设z3xyz0，求

z； x2xdFdFdy2x，2y， 从而，

2ydxdydx0,1解：设Fx,y,zz3xyz，则

FFFzyy，3z21,从而，x2 xzxFz3z1zzyz；答案：z xxexy曲面ezxyz0确定了函数zzx,y，求

由方程exyzzexyyz xyze确定了函数zzx,y，求。答案：zxxexyz6、求曲线xt,解：因为x1,yt2,zt3在t2处的切线方程； y2t,z3t2，

所以曲线在t2处的切线的方向向量为：S1,4,12， 当t2时，x2y4,z8，

2

所以曲线在t2处的切线方程为x2y4z8 14127、求函数fx,y4xyx2y2的驻点；

x2fxx,y42x0 解：令得驻点

y2fx,y42y0y求函数fx,yx3y33x23y29x的驻点个数；4

0,0,1； 8、设fx,y,zxy2yz2zx2，求fxx 解：fxx,y,zy22zx，fxxx,y,z2z

0,0,1fxxx,y,z0,0,12 fxx9、函数zfx,y在点x0,y0处fxx0,y0，fyx0,y0存在，则fx,y在该点（ ）

A、连续 B、不连续 C、不一定连续 D、可微

10、求曲面2y2x23z212在点（1，-2，1）处的切平面方程；

解：令Fx,y,z2y2x23z212， 因为Fx2x,Fy4y,Fz6z，

 所以曲线在1,2,1处的切平面的法向量为：n1,2,12x,4y,6z1,2,12,8,6 故曲线在点1,2,1处的切平面方程为：2x18y26z10. 求曲面zxy在点（1，1，1）处的切平面方程； 求曲面ezzxy3在点（2，1，0）处的切平面方程； 11、fx,y2sinx2y在点（0，0）处（）

A、无定义 B、无极限 C、有极限，但不连续 D、连续 12、设zu2v2，而uxy,vxy，求 解： zz，； xyzuv2u2v2xy12xy14x xxxzuv2u2v2xy12xy14y yyy13、如果x0,y0为fx,y的极值点，且fx,y在x0,y0处的两个一阶偏导数存在，则x0,y0 必为

fx,y的（ ）

3

A、最大值点 B、驻点 C、连续点 D、最小值点

14、函数fx,y在x,y处的偏导数连续是它在该点可微的（ ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上均不对 15、函数fx,y在x,y处的偏导数存在是它在该点可微的（ ）

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、既非必要又非充分条件 16、如果函数fx,y在x0,y0的某邻域内有连续的二阶偏导数，且

2x0,y0fxxx0,y0fyyx0,y00，则fx0,y0（ ） fxyA、必为fx,y的极小值 B、必为fx,y的极大值 C、必为fx,y的极值 D、不一定为fx,y的极值 二、解答题

x2z22y1上平行于2x2yz50的切平面方程； 1、求曲面24x2z22 解：令Fx,y,zy1 24 因为Fxx,Fy2y,Fzz， 2z所以曲线在点x0,y0,z0处的切平面的法向量为：nx0,2y0,0 2而已知平面的法向量为：n12,2,1，

所以要使所求切平面与已知平面平行，只须满足即x02y0z0x02y0z0 2221

2 x02z02x2z222y1，所以y01而点x0,y0,z0又在曲线上24241联立1,2解得x01,y0,z01， 21即所求切平面方程为：2x12yz10. 2求曲面x22y23z26在点P（1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、求曲线xt, 解：因为x1,

yt2,zt3上与平面xyz1平行的切线方程。 y2t,z3t2，

4

所以曲线上任一点处的切线的方向向量为s1,2t,3t2，

而平面xyz1的法向量为：n1,1,1，

所以要在曲线上求一点，使此点处的切线与已知平面平行只须满足：sn0

1即14t3t20，解得 t1,t， 3111所以对应点为1,1,1或,, 3927所求切平面为：略

zzxy3、设zf，求，； xy,gxyyx解：z1yxxyf1f22g，其中f1f1xy,,f2f2xy, xyxyy2zx1y f1xyf11f122g3g xyyxx zx1xf12f2g yyx设zx2yfx2y2,xy，求

zz，。 xy4、设zzx,y是由方程

zxzzln确定，求，。

xzyy 解：设Fx,y,zx1x11lnzlny，则Fx,Fz2,Fy， zzzzyzzzz2 从而， ,xxzyxyyz5、求函数zx2y2在条件2xy2下的极值。

Fx2x20解：设Fx,y,x2y22xy2，则令Fy2y0

F2xy204x5 解得， 2y5

5

42 由此得到点,是函数zx2y2在条件2xy2下唯一可能的极值点， 5542 利用二元函数的性质可知，点,函数zx2y2在条件2xy2下的极小值点 5544242极小值为z,. 555556、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最

大。

解：设长宽高分别为x米，y米，z米，则长方体的体积为Vxyz

要求长方体的表面积一定时，长、宽、高分别为多少时，长方体的体积最大， 只要求Vxyz在条件2xzxy2yz12下的最大值即可. 构造辅助函数Fx,y,zxyz2xzxy2yz12，

22Fxyz2zy0Fyxzx2z0令Fzxy2x2y0F2xzxy2yz120①②③④ 解①②③得xy2z

将xy2z代入④得，xy2,z1，

当长、宽、高分别为2米，2米，1米时，才能使铁箱的容积为最大。 7、将正数a分成三个数之和，使它们的乘积为最大。a/3,a/3,a/3

x1xyzdxxzdyzdzdz8、设zf，求；设，求。 x,dzffdxdy;dzexyz02zy1y2yexy9、求由方程edttdtcostdt0所确定的隐函数zzx,y的偏导数

t000x2ty3z2x2y3zz x解：令Fx,y,zedttdtcostdt，则 Fx2xex,Fzcosz，

000z2xex 从而，  xcosz210、设zzx,y是由Fxaz,ybz0确定的函数，其中F是可微函数，a,b是常数，求a（书上例题答案1）

11、求原点到曲面xyz21上的点的最短距离。

2zzb。xy 6

解：设x,y,z为曲面xy2z21上任一点， 则原点到点x,y,z的距离dx2y2z2 要求原点到曲面xyz21上的点的最短距离，

22 只要求dx2y2z2在条件xyz21下的最小值， 构造辅助函数Fx,y,z,x2y2z2xyz21， 2xF2xy0x222xyz1x2yF2xy01222yxyz 令, 解得，y 2zz02z0Fz222xyz22Fxyz10112 由此可知，,,0是dx2y2z2在条件xyz21下的可能极值点 222 将xyz21代入dx2y2z2，利用二元函数极值的充分条件可知， 112 ,,0是dx2y2z2在条件xyz21下的极小值点，即极小值为 22 dminx2y2z211,,0222. 2zxy12、设zzx,y是由方程zxxe 第九章 重积分典型习题 一、填空题、选择题

e0所确定，求dz。dzzxy1xezxydxxezxydy 1xezxy1、将二重积分fx,ydxdy化为二次积分，其中积分区域D是由y4,yx2,x0所围成，下列各式

D中正确的是（ ）

A、2dxfx,ydy B、dxfx,ydy C、dyfx,ydx D、dyx00042444y4y0000fx,ydx

2、设是由x0,x1,y0,y1,z0,z1所围成的区域，则xyzdxdydz1 8x2y23、旋转抛物面z在0z2那部分的曲面面积S=（ ）

2 7

A、

x2y221x2y2dxdy B、

xx2y241x2y2dxdy C、

x2y241x2y2dxdy D、

x2y221x2y2dxdy

4、若dx2fx,ydy0x110dyygyfx,ydx，则gy（ ）

A、y B、y C、y2 D、x2

5、利用球坐标计算三重积分fx2y2z2dV，其中：x2y2z22z，下列定限哪一个是正确

的（ ） A、d2dfr2rdr B、dd2222cos0000002fr2r2sindr

2cos00C、dd02022cos0frrsindr D、dd022fr2rdr

7、设D是长方形区域：0x3,1y3，则ydxdy12

D8、设fx,y是连续函数，则二次积分dxfx,ydy（ ）

0x11A、dyfx,ydx B、dyfx,ydx C、dyfx,ydx D、dyfx,ydx

001y11101y000y0111、设D是由x0,y0,xy2所围成的区域，则dxdy2

D12、设D：x2y24，f是域D上的连续函数，则fDx2y2dxdy（ ）

rA、2rfrdr B、4rfrdr C、2fr2dr D、4rfrdr

000222013、三重积分中球面坐标系中体积元素为（ ）

A、r2sindrdd B、rsindrdd C、rdrddz D、drddz 14、dy0aa2y20xa02y2dx（ ）

320A、drdr B、0drdr C、0a320drdr D、0a3320dr3dr

0a16、设:0x1,1y3,2z4，则dxdydz4

17、设区域D是圆x2y21内部，则rdrd 18、利用柱坐标计算三重积分x2y2z2dv，其中Ω：x2y2a2,0z1，下列定限哪一个是正

D确的（ ）

A、ddrrdz B、ddrrrzdz C、ddrrdz D、ddr000000000002a132a1222a122a10r2z2dz

19、设D为环形区域：4x2y29，则3d15 D420、设Ω为球面x2y2z21所围成的闭区域，则dxdydz 3

8

22、若dx101x0fx,ydydx011x0fx,ydydy0211yyfx,ydx，则yy1 24、设Dx,yx2y21，则exDy2dxdye1 25、dx011x20dy1x2y20dz 326、三重积分柱面坐标系中体积元素为（ ）

A、r2sindrdd B、rsindrdd C、rdrddz D、drddz 27、设fx,y在区域Dx,yx2y2a2,a0上连续，则fx,yd（ ）

DA、dfrcos,rsinrdr B、4dfrcos,rsinrdr

002002aaC、dxaaa2x2a2x2frcos,rsinrdr D、22dfrcos,rsinrdr

0aa28、设D由x轴和ysinx,x0,所围成，则积分d2

D29、设:0x1,0y1,0zK，且xdxdydz1，则K1\\2 4二、解答题

1、计算三重积分x2y2dv，其中Ω是由曲面2x2y2z与平面z4所围成的区域。 解：如图，x2y2dvr2rdrddz

 ddr2r3dz

002r224 dr342r2dr

00228 

32、求由曲面z2x2y2与zx2y2所围立体的体积。 解：由三重积分的性质，所求曲面所围成的立体的体积为

dvrdrddz

 ddr200r212r2rdz



5、计算zdxdydz，其中Ω是为球面x2y2z24与抛物面x2y23z所围成的闭区域。

解： zdxdydzzrdrddz

 ddrr2003214r2zrdz

9

187 1086、计算二重积分y2xdxdy，其中D由直线yx,y2x,y2所围成的区域。

D 解：如图，yxdxdydyyy2xdx

2D022y2y13 y2y2dy

022431 y3y2dy

0282 1

计算二重积分y2xdxdy，其中D由x2y21与x2y24所围成的圆环形区域。 解：如图，y2xdxdyr2sin2rcosrdrd

DDD dr3sin2r2cosdr

01215157 1cos2cosd

043822计算二重积分e2xD22y2dxdy，其中D由x2y24与x2y29所围成的圆环形区域。

2解：e2xD22y2dxdye2rrdrd

D derdr

02232r2 2e2rrdr

2321 e18e8

2y8、计算arctand，D是由圆周x2y29，x2y24及直线y0,yx所围成的在第一

xD象限内的闭区域。

y解：arctandarctantanrdrd

xDD0 4drdr

230 4drdr

23 

52 6410

10、计算三重积分x2y2z2dv，其中Ω：x2y2z21,x0,y0,z0。 解：x2y2z2dvr2r2sindrdd

2020 ddr4sindr

0112 d2sind

050  10第十章 曲线积分典型习题

yds（ ）

211、L是曲线yx2上点0,0与点1,1之间的一段弧，则LA.1012xdx B.2x1xdx C.x12xdx D.20211001x2dx

2、设L为圆x2y2a2a0的边界，把x2y2ds化为定积分时的正确结果是（ ）

LA.ad B.22020ad C.2L20ad D.ad

203、曲线L为圆x2y21的边界的负向曲线积分，ydxxdy 4、曲线L为y2x从1,1到0,0，则xdy

L5、下列曲线积分哪个与路径无关（ ）

A.Lx2dyy2dx B.Lydxxdy C.6xyL2y3dx6x2y3xy2dy D.Lydxxdy 22xy6、计算xydxyxdy，其中L是曲线x2t2t1,yt21上从点1,1到4,2的一段弧.

L解：由题设可知，点1,1对应的参数t=0，4,2对应的参数t=1，

224t1dtt212t2t12tdt xydxyxdy2tt1t1L022 3tt24t1tt2tdt 011 10t35t29t2dt

015592 2322 10

3 7、计算x3xydxx2y2dy，其中L为区域0x1,0y1的反向边界. L 解： x3xydxx2y2dyy2dyx3xdx1y2dyx3dx

1100L0011 11

1 

28、计算2xy4dx5y3x6dy，其中L以0,0、03，2为顶点的三角形区域的正向边界. 3，、L9、计算xydxyxdy，其中L是沿从1,1到1,2再到4,2的折线段.

L10、计算曲线积分xydxyxdy，其中L为抛物线y2x上从1,1到4,2的一段弧

L11、计算曲线积分Lydxxdy，其中L是从1,0到e,1的曲线段。

x2y2yx ,Qx,y2222xyxy解：由题设令Px,yPx,yQx,yx2y2ydxxdy 因为， 所以与路径无关， 222L22yxxyxy 即L1edyydxxdy 22220eyxy11e0dyy1e2 1arctan e212.计算Iexsiny2ydxexcosy2dy，其中L为上半圆周xay2a2,y0 沿逆时针方

L向.

解：令Px,yexsiny2y,Qx,yexcosy2

Px,yQx,yexcosy2,excosy， yxQx,yPx,y2, xy 有 由格林公式，I2dxdyeDOADxsiny2ydxexcosy2dy

2dxdy a2. 13.已知积分

(1,1)(0,0)exfxydxfxdy与路径无关，且f012

1,求可导函数f(x) 2

解：由题设积分(1,1)(0,0)exfxydxfxdy与路径无关，

可知fx满足

fxfxex0

从而，

dxexc1e2x xdxfxeceedx2将条件f01代入上式，可得c1， 21故所求函数为fxexex.

214.证明曲线积分 3,43,41,26xy32y3dx6x2y3xy2dy与路径无关，并计算其值。

 证明：曲线积分与路径无关略

1,26xy2ydx6xy3xydy24x8dx54y9y2dy

22123413 8x2x93y2y3

3221 236

第十一章典型习题

知识点：（I）无穷级数收敛的定义

（II）常数项级数的性质及敛散性的判别法

（1） 级数收敛的必要条件 （2） 条件收敛与绝对收敛

（III）正项级数敛散性的判别法

（１）正项级数收敛的充分必要条件部分和有界

（２）比较法；（３）比值法；（4）根值法；（IV）交错级数的敛散性

（Ｖ）求和函数

（ＶＩ）函数展开成级数

一、填空题、选择题

1.下列级数是发散的为（ ）

A、342n1n B、sinn1n2 C、cosn1n2 D、tann1n2

2.如果un收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）

n1A、100un B、100un C、100un D、un

n1n1n1n1 13

*2.如果un收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）

n1A、un B、u C、unun1

2nn1n1n13.下列级数中是收敛的级数为（ ）

nn13nA、2 B、2 C、3 D、n

n1n1n1nnn1n124.级数n11n是绝对收敛级数，则（ ）

nA、0 B、01 C、2 D、1 *4.若级数n11n为条件收敛级数，则常数的范围是（ ）

nA、01 B、1 C、2 D、01 5.级数n11n1是（A）

；级数

32n1cosn43是（A）

nnA、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、敛散性不定

6.设un为任意项级数，且un收敛，则（ ）

n1n1A、原级数绝对收敛 B、原级数条件收敛 C、原级数发散 D、原级数敛散性不定 7.limun0是级数un收敛的（ ）

nn1A、充要条件 B、必要条件 C、充分条件 D、既不充分又不必要条件 8.如果un1，则limun0

n1n9.若级数un收敛，则n11（ ） n1unA、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、敛散性不确定 10.设正项级数un与vn，如果un100vn，且un发散，则vn（ ）

n1n1n1n1A、一定收敛 B、绝对收敛 C、一定发散 D、敛散性不定

211.级数n05n1满足（） A、发散 B、收敛且其和为1 C、收敛且其和为2 D、收敛且其和为2/3 12.下列级数发散的是（ ）

14

11A、2 B、 C、1cos D、cos2

nnnn1nn1n1n1n13.如果un5，vn10，则2vn3un5

n1n1n114.设正项级数un的部分和数列为Sn，如果Sn有界，则级数un（ ）

n1n1A、收敛 B、发散 C、无法确定 D、以上都不对 15.若级数un与vn均发散，则unvn（ ）

n1n1n1A、收敛 B、发散 C、可能收敛也可能发散 D、绝对收敛

16.下列级数中条件收敛的级数是（ ） A、n11nn B、

n11n1n1n1n C、13 D、1

nnn1n1n17.收敛级数任意加括号，所成的新级数（ ）

A、收敛且和不改 B、发散且级数和不变 C、发散 D、敛散性不确定 18.级数1的和是（ ） n12n12n1A、2 B、0 C、∞ D、1/2 19.幂级数n11n1xn的收敛区间是[-1,1]

n23nnnn20.幂级数nx的收敛半径R= 2 ；幂级数x1的收敛半径R= 1\\3 ；

n12n1n21.设幂级数anx1在x4收敛，则它在x1是（ ）

nn1A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、前三者都有可能 ?22.若anxn在xx0收敛，则该级数收敛半径R满足（）

n1A、Rx0 B、Rx0 C、Rx0 D、Rx0 21.设幂级数anxn在x2发散，则它在x3是（ ）

n1A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、敛散性不定

122.函数fx展开成x的幂级数为（） 12x

15

A、12x B、x C、12x D、2x

nnnnnnn1n0n0n023.将fx1展开成x的幂级数为（ ） 4xnxnxn1xnnnA、 B、1x C、n1 D、 n144n0n04n0n024.函数ln1x的麦克劳林级数展开式为（ ） A、n11n1xn B、

n1n1 C、xn!n1nn1n11x D、xn

n1n!nxn25.幂级数的和函数是（A）；

n0n!xn幂级数1的和函数是（B）

n!n0nA、ex B、ex C、ln1x D、arctanx 二、解答题 1、判别级数sinn1n2的敛散性； 221nn 解：因为limlim0，且2收敛

nn1n1nn2n2sinsin 所以由比较判别法可知，sinn1n2收敛.

判别级数3nsinn15n的敛散性； n1n1n33555解：∵limlim1 nn553nsinnsin55n15n3n1sinsin ∴由比值判别法可知，3nsinn15n收敛.

n3判别级数n的敛散性； n13 16

n1解：因为limn33n13n1113lim11 nn3n33n3 所以由比值判别法可知，n收敛

n13nn判别级数n的敛散性并说明理由；

n12n!nn12nn!11enlim11 解：∵limn1n2n1!nn2n2n1nn 由比值判别法可知，n发散.

n12n!判别级数3ntann17n的敛散性 3n1tan解：∵limn7n13lim7n17n31 77n3ntanntan77n17ntan 由比值法可知，3ntann17n收敛.

判别级数n11n1cosn的敛散性. n26n161而收敛， 222nnn1ncos解：因为

所以由比较判别法可知，n11n1cosn绝对收敛.

n262．将fxarctanx展开成x的幂级数；

12n 解：由1xxxxn,其中x1,1，

1xn01n2nn2n246 有1xxx1x1x，其中x1,1， 21xn0x12n11n2n arctanxdx1xdxx,其中x1,1.

01x202n1n0n1xn 17

3.将fxln1x展开成x的幂级数；

1nnn23解：由1xxx1x1xn，x1,1

1xn0有ln1x1ndx1xndxxn1,其中x1,1. 01x0n0n0n1xx1n4.将fxln1x2展开成x的幂级数； 解：由

1n2n2461xxx1x，其中x1,1， 1x2xnx1x2n1,其中x1,1 1n2n2 有ln1xdx1xdx001x22n1n1n15.将fxlnaxa0展开成x的幂级数；lnaxn01nxn1

n1an1exexexex1315x2n1ee2n16.将fx展开成麦克劳林级数。xxxx

22n1!22n1!23!5!3展开成x的幂级数，并写出收敛区间。 22xx311111解：把函数变形为fx 2x2xx2x1x21x127.将fx1利用xn,x1,1得，

1xn0nnn11nxnfx1xn11x，其中x1,1

2n02n0n0218．将展开成x2的幂级数，并指明收敛区间。 4x1111解：把函数变形为 4x2x221x221利用xn,x1,1得，

1xn0n11111x2，其中x0,4 x24x4x22n02125.判别级数

1的敛散性，若收敛并求和S. 2nn1n118



解：sni1n11111111111

2ii12223nn12n1111 limsnlim1 nn2n12 所以级数收敛且其和为11. 2n12nn1xn6.求幂级数的和函数；

n1n 解：(1)先求收敛域.

1 Rlimn11,

nn1 当x1时，级数发散，

n1n 当x1时，级数n11nn收敛，

故收敛域为1,1.

xn (2)令sx,1x1，

n1nxnxnn11 逐项可导得，sxx,1x1

1xn1nn1nn1xx1dtln1x,1x1, 上式两端积分得，sxstdt001txn 即ln1x,1x1.

n1nxn7.求幂级数的和函数。 n2nn1解：先求收敛域.

Rlimnan1limnn11 an1nnn11收敛，

nn1n2当x1时，级数 19

1 当x1时，级数收敛， nn1n1n故收敛域为1,1.

xn(2)令sx,1x1，

n2nn1n1xnxnx 逐项可导得，sx,1x1 n2nn1n1nn1n1n1xn1xn1n21 sxx,1x1 n1n11xn1n2n2xx1dtln1x,1x1 上式两端积分得，sxstdt001tsxstdtln1tdtxln1xxln1x,1x1.

00xxxn 即xln1xxln1x,1x1

n2nn18.求幂级数n11n1xn的收敛区间及其和函数. n 解：Rlimnan1limn11， an1nn ∴收敛区间为1,1，

当x1时，级数n11nn1收敛，

1 当x1时，级数发散，

nn1故收敛域为1,1 2)令sxn11nn1xn,1x1，

1n1n1x(1)n1xn1,1x1 逐项可导得，sx1xn1nn1 积分得，sxstdt0x1dtln1x,1x1. 01tx 20

即n11nn1xnln1x,1x1.

9.求幂级数n1x1n的收敛区间. 2nn 解：令tx1，则有n1x1tnn n2nn12nn Rlimnan1limn2n1n12 an1n2n 即2x121x3 收敛区间1,3 10.已知幂级数1nx;(1)求该级数的收敛半径;(2)求该级数的和函数; nn1n2(3)求lim(n1111). 23n122232n2解：（1）所给级数的收敛域为：2,2 （2）令sx1nx,1x1， nn2n1n11n1x11 逐项可导得，sxx,1x1 nxn2222n1n112 积分得，sxstdt0x1x11xdtln1,1x1. 0t21222 即1n1xxln1,1x1. n22n1n211111)（3）lim(ln2,1x1. n23nn12n22232n2n1第十二章典型习题

一、填空题、选择题

1、曲线在点x,y处的切线斜率为y，则此曲线方程为yy0 2、下列函数中，是微分方程yy0的解的是（ ）

21

A、y1 B、yx C、ysinx D、yex 3、微分方程

dy2xy的一个特解是（ ） dx2222A、ycex B、yc1exc2x C、ycexx D、yex 4、方程yyex1的一个特解应具有形式（ ）

A、yaexb B、yaexbx C、yaxexb D、yaxexbx 5、微分方程

dyy0的通解为yCx ； dxx方程y2y0的通解为yCe2x

6、已知特征方程的两个根为r1,21i，则相应的二阶常系数齐次线性微分方程为（ ）

A、y2y2y0 B、y2y2y0 C、y2y2y0 D、y2y2y0 7、已知特征方程的两个根为r1r22，则相应的二阶常系数齐次线性微分方程为（ ）

A、y4y4y0 B、y4y4y0 C、y4yy0 D、y4y4y0 8、方程y2y2yex的一个特解具有形式（ ）

A、yAxex B、yAex C、yAxBex D、yAx2ex 9、方程yPxyQx的通解为（ ）

A、yePxdxQxePxdxdxC B、yePxdxQxePxdxdxC PxdxPxdxdxC D、yePxdxQxePxdxdxC QxeC、ye10、在下列微分方程中，其通解为yc1cosxc2sinx的是（ ）

A、yy0 B、yy0 C、yy0 D、yy0 11、微分方程lnyx的通解为yexC

12、以函数ye3x与ye3x为特解的二阶常系数齐次线性微分方程（ ）

A、y9y0 B、y9y0 C、y9y0 D、y9y0 13、微分方程1x2yxy0的通解为yCxe

x22

22

14、微分方程y4y4y0的两个线性无关的特解是（ ）

A、e2x,2e2x B、e2x,2e2x C、e2x,xe2x D、e2x,4e2x

15、已知二阶齐次微分方程为y6y13y0，其通解为ye3xC1cos2xC2sin2x 16、微分方程ylnxdxxlnydy满足初值条件y17、y3y4y0满足初值条件yx0x11的特解是yx

0,yx05的特解是yexe4x

18、y4y4ycos2x的特解y的形式为（ ）

A、yAcos2x B、yAcos2xBsin2x C、yxAcos2xBsin2x D、yx2Acos2xBsin2x 19、以yC1C2xex为通解的二阶常系数齐次线性微分方程（ ）

A、y2yy0 B、y2yy0 C、y2yy0 D、y2yy0 20、二阶线性齐次微分方程y9y0的通解是yC1e3xC2e3x 21、已知y2yyexAsinxBcosx，则其特解应具有形式（ ）

A、yxexasinxbcosx B、yexasinxbcosx C、yAxex D、yAx2ex 二、解答题

1、求微分方程yy2yex的通解； 解：特征方程：r2r20， 特征根：r12,r21

对应的齐次方程的通解为Yc1e2xc2ex， 自由项fxex，设方程的特解为y*axex，

将y*axex代入原方程得，2aexaxexaexaxex2axexex，

1 解之得，a

31 所以，y*xex

31 故原方程的通解为yc1e2xc2exxex

3求微分方程y2y3y3x1的通解；

23

解：特征方程：r22r30， 特征根：r13,r21

对应的齐次方程的通解为Yc1exc2e3x， 自由项fx3x1，设方程的特解为y*axb， 将y*axb代入原方程得，2a3ax3b3x1，

1 解之得，a1,b

31 所以，y*x，

3 故原方程的通解为yc1exc2e3xx求微分方程y2y5y5x2的通解。 解：特征方程：r22r50， 特征根：r11i,r21i

1 3 对应的齐次方程的通解为Yexc1cosxc2sinx， 自由项fx5x1，设方程的特解为y*axb， 将y*axb代入原方程得，2a5ax5b5x2， 解之得，a1,b0 所以，y*x，

故原方程的通解为yexc1cosxc2sinxx 2、求微分方程y3ye2x满足初始条件y求微分方程yy0满足初始条件y3、求微分方程x1x0x01的特解。y43x1xee； 553,yx01的特解。y2exex

dyn1nyexx1的通解。 dxdynnyexx1， 解：原方程化为dxx1 先求对应的齐次方程的通解.

dyny0, 对应的齐次方程：dxx124

分离变量：

dyndx， yx1n 积分，得ycx1，

用常数变易法令原方程的解为yux1， 代入所给非齐次方程得，nux1ux1 解之得，uexc

故原方程的通解为yexx1cx1 4、解微分方程y4y4y2e2x。 解：特征方程：r22r50， 特征根：r11i,r21i

对应的齐次方程的通解为Yexc1cosxc2sinx， 自由项fx5x1，设方程的特解为y*axb， 将y*axb代入原方程得，2a5ax5b5x2， 解之得，a1,b0 所以，y*x，

故原方程的通解为yexc1cosxc2sinxx

dy2yx3ex满足初始条件ydxdy2解：原方程化为yx2ex

dxx 先求对应的齐次方程的通解.

nnnn1nnux1exx1nn1

5、求微分方程xx10的特解。

对应的齐次方程：

dy2dx, yx 分离变量：

dy2dx， yx 积分，得ycx2，

用常数变易法令原方程的解为yux2，

25

代入所给非齐次方程得，ux32ux22ux2x3ex 解之得，uexc

故原方程的通解为yx2exc 6、求微分方程xyy解微分方程yx的通解；yxlnlnxC lnx3yx； yCx3x2 xx2解微分方程y2xyxe解微分方程x1； yex2x2C2 dy2yexx1。yx1exC dx7、求微分方程y3y2y0的积分曲线，使该曲线与直线yx相切于点O(0,0)。 解：特征方程：r23r20， 特征根：r12,r21 积分曲线为yc1e2xc2ex，

c1c20 由题设曲线与直线yx相切于点O(0,0)可知，曲线方程满足

2cc112 解之得，c11,c21 故所求曲线为ye2xex 8、解微分方程y2y3e2x。 解：特征方程：r22r0， 特征根：r12,r20

对应的齐次方程的通解为Yc1e2xc2，

自由项fx3e2x，设方程的特解为y*3axe2x，

将y*3axe2x代入原方程得，6ae2x12axe2x12ae2x12axe2x3e2x，

1 解之得，a

23 所以，y*xe2x，

2

26

故原方程的通解为yc1e2xc29、已知y5y6y0，yx032xxe 21，求该微分方程的特解。

1,y2x0解：特征方程：r25r60， 特征根：r12,r23

原方程的通解为yc1e2xc2e3x，

1,y2 将yx0x01cc1代入yc1e2xc2e3x得，122

2c13c211 解之得，c1,c20

21 故原方程的通解为ye2x

210、求微分方程1exyyex满足初始条件y12xy1满足初始条件y11、求微分方程yx2x11的特解。y2ln41ex1221

x110的特解。yxx2ex e 27