北师大版高数选修23第2讲：排列组合

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1.理解排列组合的概念.

2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式. 3.熟练掌握排列、组合的性质. 4.能解决简单的实际问题.

1.排列与组合的概念:

(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的. 注意：○

2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”○，二是“按照一定的顺序排列”. 3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列. ○

4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列. ○

5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关. ○

6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排○

这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.

(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.

1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定注意：○

义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.

2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合. ○

3组合与排列问题的共同点，○都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.

4根据定义区分排列问题、组合问题. ○

2.排列数与组合数：

(1)排列数的定义:一般地，我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An表示.

m

(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示.

3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1),其中m，nN*，且m≤n.

m(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.

1全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列. ○

2阶乘：自然数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，即An!. ○n3由此排列数公式An(n1)(n2)L(nm1) ○nmnn(n1)(n2)L(nm1)(nm)L21n!.

(nm)L21(nm)!n!.

(nm)!m所以Anm(3)组合数公式:Cnn!.

m!(nm)!(4)组合数的两个性质: 性质1：CnCnmmnm.

m1性质2：Cn1CnCn.

类型一.排列的定义

例1：判断下列问题是不是排列，为什么？

(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.

(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.

[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关. (2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.

练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？

(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.

(2)集合M={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的

mx2y2x2y2椭圆方程221和多少个焦点在x轴上的双曲线方程221.

abab[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果

不同，即与顺序有关.

x2y2(2)第一问不是第二问是.若方程221表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大

abx2y2x2y2小一定；在双曲线221中，不管a>b还是aabab线，且是不同的双曲线，故这是排列.

类型二.组合的定义

例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.

(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ [解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.

(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.

练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.

(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？

(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？

[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.

(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 类型三.排列数与组合数

例3：计算下列各式. (1)A7;

5

(2)A12;

52(3)A7.

7

[解析] [答案] (1)A77×6×5×4×3=2520； (2)A13=13×12=156；

(3)A77×6×5×4×3×2×1=5040.

练习1：乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为( ) A.Am [答案] D

[解析] 排列的顺序为由小到大，故n=m+20，而项数是21故可表示为Am20. 例4：计算C100 [答案] C100C100

练习2：计算C982C98C98

[答案] 原式C982C98C98(C98C98)(C98C98)C99C99C100161700.

123122323397295272B.Am

21

C.Am20

20D.Am20

21219898100982C100100994950.

21

类型四.排列问题

例５：3个女生和5个男生排成一排.

(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A6种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有A3种不同的排法，因此共有A6A34320种不同的排法.

(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有

533A6种不同排法，因此共有A5A614400种不同的排法.

63635练习1：3个女生和5个男生排成一排.

(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A5种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有A5A614400种不同的排法.

(2)3个女生和5个男生排成一排有A8种排法，从中减去两端都是女生的排法A3A6种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有A8A3A636000种不同的排法.

类型五.组合问题

例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？

[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有C8C812826262682636种方案.

练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？

[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有C10种选法，第二步满足乙任务有C8种选法，第三步满足丙任务，有C7种选法，故共有C10C8C72520种不同选法.

类型六.排列与组合综合问题

例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？

[答案] 362880

121121[解析] 从10名男运动员中选3名有C10种，从9名女运动员中选3名有C9种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A，B，C；先让A选择女运动员，有3种不同选法；B选择女运动员的方法有2种；C只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为A3，根据分步计数原理，共有C10C96A3362880种不同参赛方法.

练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )

A.36个 B.24个 C.18个 D.6个 [答案] Ａ

[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有C3C2A336个．

213333333

1.89×90×91×…×100可表示为( ) A.A100 [答案] C 2.已知3A3A.5

n110B.A100

11C.A100

12D.A100

134A9n2,则n等于( )

B.6

C.7

D.8

[答案] C

３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( ) A.36 B.120 C.720 D.140 [答案] C

４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( ) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 [答案] C

５.若C6C6,则x的值是( ) A.2

[答案] C ６.C10C10r117rx2B.4 C.4或2 D.0

可能的值的个数为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 [答案] B

7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.C5C7C4 C.A5A7A4

222222B.C5C7C4 D.C16

2222

[答案] A

8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同

的分配方法有( )

A.90种 [答案] D

B.180种 C.270种 D.540种

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基础巩固

1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( ) A.10人 B.8人 C.6人 D.12人 [答案] Ａ

2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.A3A4 [答案] Ｂ

3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.A3A8 [答案] Ｃ

4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 56

5.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种. [答案] 86400

6.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.

[答案] 300

7.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.

[答案] 126

8.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.

[答案] 140

能力提升

1.(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）

3513B.C4A3

23C.C4A2

32D.C4C4C2

132B.A5A4

53C.A5A5

53D.A5A6

53A.144个 [答案] B

B.120个 C.96个 D.72个

2.(2014四川卷)方程aybxc中的a,b,c{3,2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A.60条 B.62条 C.71条

[答案] B

3.（2014辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 [答案] D

4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )

A.56个 B.57个 C.58个 D.60个

[答案] Ｃ

5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)

【答案】 ９６

6.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.

[答案] ３６

7.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．

[答案] 120

8.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0？其中有实根的方程有多少个？

[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A4种，然后从余下的4个数中任选两个作b、c，有A4种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：

12A4A448个.方程更有实根，必须满足b24ac0.

2122D.80条

B．120 C．72 D．24

分类讨论如下：当c=0时，a，b可在1，3，5，7中任取两个排列，有A4个；当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7.当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有A2个；当b取7时a，c可取1，3或1，5这两组数，有2A2个，此时共有A22A2个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：A4A22A218个.

22222222

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